规范练(六)函数与导数问题1．设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)．(1)若a＞0，讨论f(x)的单调性；(2)x＝1时，f(x)有极值，证明：当θ∈时，|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.解(1)f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1)＝aex(x＋)(x＋2)，当a＝时，f′(x)＝ex(x＋2)2≥0，f(x)在R上单增；当0＜a＜时，由f′(x)＞0，得x＞－2或x＜－；由f′(x)＜0，得－＜x＜－2，∴f(x)在和(－2∞，＋)上单调递增，在上单调递减．当a＞时，由f′(x)＞0，得x＞－或x＜－2；由f′(x)＜0，得－2＜x＜－，∴f(x)在(∞－，－2)和)上单调递增，在上单调递减．(2)证明 x＝1时，f(x)有极值，∴f′(1)＝3e(a＋1)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝ex(－x2＋x＋1)，f′(x)＝－ex(x－1)(x＋2)．由f′(x)＞0，得－2＜x＜1，∴f(x)在[－2,1]上单调递增． θ∈，∴sinθ，cosθ∈[0,1]，∴|f(cosθ)－f(sinθ)|≤f(1)－f(0)＝e－1＜2.2．已知m∈R，f(x)＝2x3＋3x2＋6(m－m2)x.(1)当m＝1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若m∈[，2]且关于x的不等式(m－1)2(1－4m)≤f(x)≤20在区间[k,0]上恒成立，求k的最小值k(m)．解(1)当m＝1时，f(x)＝2x3＋3x2，f′(x)＝6x2＋6x.切线斜率为k＝f′(1)＝12，f(1)＝5，所以切线方程为y＝12x－7.(2)令f′(x)＝6x2＋6x＋6(m－m2)＝0，可得x1＝－m，x2＝m－1，因为m∈[，2]，所以m－1－(－m)＝2m－1≥0.①当m－1≤0，且2m－1＞0，即
