2022高中数学空间向量与空间角VIP专享VIP免费

立体几何中的向量方法(三)——空间向量与空间角学习目标1.利用向量方法解决线与线、线与面、面与面所成角的计算问题.2.会用向量方法求两点间的距离，点到平面的距离.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点梳理1．空间中的角角的分类向量求法异面直线设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量所成的角为a，b，则cosθ＝________＝__________直线与平设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量面所成为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝______的角设二面角α—l—β的平面角为θ，平面α、β二面角的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝__________＝__________2.空间的距离距离的分类向量求法两点间的距离范围0，π20，π2[0，π]若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝AB＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12|n|)设n是平面α的法向量，A是平面α外一点，Bα则点A到平面的距离d=点到平面的距离AB•nn课堂练习一、选择题1．若直线l1的方向向量与直线l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均错2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于()A．30°B．60°C．150°D．30°或150°3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是()A．等于90°B．小于90°C．大于90°D．不确定4．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为()31032A.B.C.D.21055→→5.若O为坐标原点，OA＝(1,1，－2)，OB＝(3,2,8)，OC＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()165A.B．214253C.53D.26．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为()A．211B.11C.22D．311二、填空题7．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．8．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．9．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为______．三、解答题10.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．11．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．提升练习12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()1232A.B.C.D.2332113．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，2且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．总结1．空间两条异面直线所成的角，可转化为求两条直线的方向向量的夹角或夹角的补角．2．直线与平面所成的角，二面角主要利用平面的法向量解决；要注意向量的方向和所求角的范围．3．空间两点间的距离可直接利用距离公式，点到平面的距离转化为向量的投影问题．立体几何中的向量方法(三)空间向量与角、距离知识点梳理1.角的分类异面直线所成的角直线与平面所成的角向量求法设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，|a·b|则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a|·|b|设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平|a·n|面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a|·|n|设二面角α—l—β的平面角为θ，平面α、β的法向量|n1·n2|为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1|·|n2|范围0，π20，π2二面角[0，π]作业设计1．A2.B3．A[ A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥MN，→→→→→ MP·MN＝(MB1＋B1P)·MN→→→→＝MB1·MN＋B1P·MN＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.]4．D[如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，11，，1，C(0,1,0)，M211，1，.N211→→0，，1，CN＝1，0，.∴AM＝225→→→1→∴...