函数的最大（小）值与导数VIP免费

一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义——复习:如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值(1)求导函数f`(x)；(2)求解方程f`(x)=0；(3)列表:检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。用导数法求解函数极值的步骤：在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.函数最值问题.极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。oxdbfcaehgy极大值点，ceg极小值点dbf你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点：a，最小值点：d观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？oxyab)(xfy最小值是f(b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间[a,b]上最大值是f(a),(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值f(x)在闭区间[a,b]上的最值：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值)一是利用函数性质二是利用不等式三今天学习利用导数求函数最值的一般方法：x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗)(xfxyo1212)(3xxxf-22例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的最大值，最小值。例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的最大值，最小值。解：由上节课的例1知，在[0,3]上，当x=2时，f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f(2)=-4.又由于f(0)=12,f(3)=3,因此，函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的最大值为12，最小值为-4。①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,2]上的最大值与最小值。因为f(-2)=57,f(1.5)=-28.75,f(2)=-23所以函数的最大值为57，最小值为-28.75解：=-36+6x+12x2=6(2x2+x-6))(xf令=0,解得x1=-2,x2=1.5)(xf练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]上的最值。解：=3x2-6x+6=3(x2-2x+2))(xf因为在[-1,1]内恒大于0,)(xf所以f(x)在[-1,1]上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x)取得最大值2。例2、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理例2求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2解法二、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112例3、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。令<0,解得x<-1或x>3)(xf解:(1)=-3x2+6x+9)(xf函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)(3,+∞)∪oxy-123axxxxf93)(23(2) f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+a∴f(2)>f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2∴f(x)=-x3+3x2+9x-2∴f(x)在[-1,2]上单调递增∴在(-1,3)上>0,)(xf又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。∴f(-1)=1+3-9-2=-7,例4、证明：当x>0时，x>ln(1+x)01111)(,0xxxxfx时当解：设f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x≥0上单调递增，从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0练习3:...