【课标要求】2.2对数函数2.2.1对数的概念和运算律理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．了解常用对数与自然对数的意义．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．掌握对数的运算性质及其推导．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．2．3．4．5．如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的_____(logarithm)，记作b＝______．这里，a叫作对数的____(base)，N叫作对数的_____(propernumber)．把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式：alogaN＝___，___＝logaab.由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝___，loga1＝logaa0＝___．自学导引1．对数logaN底真数Nb10由对数的定义可以推导出下面三个运算法则：(1)loga(MN)＝_____________；(2)logaMn＝________；(3)logaMN＝______________(a>0，a≠1，M>0，N>0)．logaM－logaN在没有电子计算机的年代，为了复杂计算的需要，引入了以10为底的_________(commonlogarithm)．在数学研究中，有一种对数的有关解析式非常简捷方便，这种对数叫作自然对数(naturallogarithm)，它是以无理数____________为底的对数．为了方便，通常把常用对数和自然对数的符号简写为：log10N＝___，logeN＝___．2．3．logaM＋logaNnlogaM常用对数e＝2.71828…lgNlnN幂运算和对数运算有什么不同？提示在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x，就是对数运算．两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．自主探究1．在对数式x＝logaN，为什么规定a>0且a≠1呢？提示(1)若a<0，且N为某些数值时，logaN不存在．如(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，为此，规定a不能小于0.(2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值．为此，规定a≠0.(3)若a＝1，N不为1时，x不存在，如log12不存在；N为1时，x可以是任何数，是不唯一的，为此，规定a≠1.因此，规定底数a>0，且a≠1.2．已知logx16＝2，则x等于()．A．±4B．4C．256D．2解析由logx16＝2得，x2＝16，又x＞0，所以x＝4.答案B预习测评1．答案C2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()．A．100＝1与lg1＝0B．27－13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5若log2[log3(log4x)]＝0，则x＝________．解析log3(log4x)＝1，log4x＝3，x＝43＝64.答案6421－log27＝________．解析21－log27＝22log27＝27.答案273．4．实质上，对数表达式不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN.名师点睛2．“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．1．根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：(1)零和负数没有对数，即N>0；(2)1的对数为零，即loga1＝0；(3)底的对数等于1，即logaa＝1.对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁．因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法．3．4．学习对数的运算性质时应注意(1)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝logaM＋logaN＝m＋n.(2)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(3)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误，初学者常犯的错误是：5．(4)会用语言准确叙述运算性质，对于防止出现上述错误有好处．如loga(M·N)＝logaM＋logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和...
