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二面角的定义及求法举例VIP免费

二面角的定义及求法举例_第1页
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αβι二面角的内容复习:1、二面角的定义2、二面角的平面角的定义16lαβOAB二面角的计算:1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等,求二面角A-VC-B的余弦值的大小。VABC定义法BDCAS练习:如图,正四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=4,AB=BC=CD=DA=2,求侧面与底面所成二面角的余弦值大小?例2:三棱锥D-ABC中,DC=2a,DC⊥平面ABC,∠ACB=90o,AC=a,BC=2a,求二面角D-AB-C的正切值的大小。BCAD三垂线法5练习1:M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC上的中点,求二面角N-B1M-B的余弦值的大小。ABCDA1B1C1D1MN32解:ABPlO例3.如图P为二面角内一点,PA⊥,PB⊥,且PA=5,PB=8,AB=7,求这二面角的度数。l设过PA、PB的平面PAB与棱l交于O点∵PA⊥∴PA⊥l∵PB⊥∴PB⊥l∴l⊥平面PAB∴∠AOB为二面角的平面角l又∵PA=5,PB=8,AB=7BPAPABBPAPP2cos222由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴所求二面角的度数为120º21垂面法变式:如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,SD⊥平面ABCD,SB=,求面SBC与面SAD所成求二面角的大小。345练习:正三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CC1,E∈B1B,平面AEC1⊥平面A1ACC1,求平面AEC1与平面ABC所成的二面角(锐角)的度数。B1BEC1ACEA1E45作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内lPABABPlABOlP—定义法—三垂线(逆)定理法—垂面法二面角如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE⊥平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.课后练习如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE⊥平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.(1)解在四棱锥P—ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,从而AB⊥平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE⊥平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.(2)证明在四棱锥P—ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD.如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE⊥平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.(3)解过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示.由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.由已知,可得∠CAD=30°.设AC=a,可得如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE⊥平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.PA=a,AD=233a,PD=213a,AE=22a.在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD=PA·AD,则AM=PA·ADPD=a·233a213a=277a.如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE⊥平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.在Rt△AEM中,sin∠AME=AEAM=144.所以二面角A—PD—C的正弦值为144.

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