高三数学：3.2《几种常见函数的导数》（人）VIP专享VIP免费

3.2几种常见函数的导数一、复习：1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度,在极限思想上得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数.2.求函数的导数的方法是:);()()1(xfxxfy求函数的增量;)()(:)2(xxfxxfxy的增量的比值求函数的增量与自变量.lim)()3(0xyxfyx求极限，得导函数)(0xf)(xf3.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.00xx|y)x(f4.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy二、新课——几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1:.)(0为常数CC.0lim)(,0,)()(,)(:0xyCxfxyCCxfxxfyCxfyx证公式2:.)()(1Qnnxxnn请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nnnnnxxxxfxxfyxxfy)()()(,)(:证,)()(])()([2221122211nnnnnnnnnnnnnnnnxCxxCxxCxxCxxCxxCx,)(12211nnnnnnnxCxxCxCxy.])([limlim)()(11221100nnnnnnnnxxnnxxCxxCxCxyxxf;33)(:2133xxx例如;222)()1(331222xxxxx;212121)()(2112121xxxxx公式3:.xxcos)(sin要证明这个公式,必须用到一个常用极限.1sinlim0xxxxxxxfxxfyxxfysin)sin()()(,sin)(:证,2sin)2cos(2xxx,22sin)2cos(2sin)2cos(2xxxxxxxxxy.cos1cos22sinlim)2cos(limlim)(sin)(000xxxxxxxyxxfxxx同理可证,公式4:.xxsin)(cos三、例题选讲例1:求过曲线y=cosx上点P()且与过这点的切线垂直的直线方程.21,3.23sin|,sin,cos3xyxyxyx解：；的斜率为点且与切线垂直的直线从而过，处的切线斜率为故曲线在点3223)21,3(PP.0233232),3(3221yxxy即所求的直线方程为注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.OAxMPy例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度.解:时刻t时,因为角速度1rad/s,所以.radttPOA1;radtPOAMPO;sin10sintMPOOPOM故点M的运动方程为:y=10sint..cos10)sin10(ttyv故时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度为10costcm/s.例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.;cos|,cos)(sin00xyxxyxx得由;sin|,sin)(cos00xyxxyxx得由由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0)=-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.练习1:曲线y=sinx在点P()处的切线的倾斜角为___________.22,422arctan例4:已知曲线在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于,求直线m的方程.31xy10;3)()1(,14333xxxyxy解：.043),1(31,3|)1,1(1yxxyykPx即从而切线方程为处的切线的斜率为曲线在设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:;146,10|4|1013|)4(|2bbbb或故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.例5:求双曲线与抛物线交点处切线的夹角.xy1xy.11,11,1），故交点为（解得解：联立方程组yxxyxy;1)1,1(1,1|,1,11112...