高三数学（理）第一轮复习：直线与平面垂直；平面与平面垂直人教版VIP专享VIP免费

高三数学（理）第一轮复习：直线与平面垂直；平面与平面垂直人教版【本讲教育信息】一.教学内容：直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角二.本周教学重、难点：1.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。2.掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。【典型例题】[例1]如图所示，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。（1）求二面角BEFB1的大小；（2）M为棱BB1上的一点，当MBMB1的值为多少时，能使MD1平面EFB1？请给出证明。解：（1）在底面AC中 AC⊥BD，EF//AC∴BG⊥EF，连结B1G又 B1B⊥底面AC∴B1G⊥EFGBB1是二面角BEFB1的平面角aBDBG42412242tan11aaBGBBGBB∴二面角BEFB1的正切值为22∴二面角BEFB1的大小为22arctan（2）当11MBMB时能使MD1平面EFB1证明如下：11AD面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M用心爱心专心 EBBMBA11∴BEBMAB111而90111BEBEBA∴901111MABEBA∴MAEB11，因此EBMD11同理，FBMD11∴MD1平面EFB1[例2]如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，45PDA。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC则NO//PA，又PA⊥平面ABCD∴NO⊥平面ABCD∴NO⊥CD，又MO⊥CD∴CD⊥平面MON∴CD⊥MN在PADRt中，45PDA∴PA=AD又 AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM∴CBMPAM∴PM=MC N为PC的中点∴MN⊥PC又CCDPC∴MN⊥平面PCD[例3]如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=a，AD=BC=a2，60A，EBDAC，将其沿对角线BD折成直二面角。（1）证明AB⊥平面BCD；（2）证明平面ACD⊥平面ABD；（3）求二面角BCEA的大小。解析：（1）证明：在ABD中，由余弦定理，得60cos2222ABADABADBD22232122)2(aaaaa∴22222234ABBDaaaAD∴90ABD又 二面角CBDA为直二面角，AB平面ABD，DB=平面ABD平面BDC用心爱心专心∴AB⊥平面BDC（2）证明： 四边形ABCD是平行四边形，90ABD∴DC⊥BD AB⊥平面BDC，AB平面ABD∴平面ABD⊥平面BDC又 BD=平面ABD平面BDC，DC平面BDC，DC⊥平面ABD又 DC平面ADC∴平面ADC⊥平面ABD（3）作BQ⊥CE于Q，由平面几何知识，得aaaaAEBEABBQ7212723连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE∴BQA是二面角BCEA的平面角在AQBRt中，321721tanaaQBABBQA∴321arctanBQA即二面角BCEA的大小为321arctan[例4]如图所示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD的中点，求：（1）AE与CF所成的角；（2）CF与平面BCD所成的角。解：（1）如图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK F是AD的中点∴AE//FK则CFK为异面直线AE与CF所成的角（或其补角）设正四面体棱长为a，则可得aCFaAEFK23,4321在KECRt中，aaaECKECK47)2()43(2222∴在CFK中，FKCFCKFKCFCFK2cos222324323216716343222aaaaa用心爱心专心∴32arccosCFK，即异面直线AE和CF所成角为32arccos（2）在正四面体ABCD中， 各棱长都相等，E是BC的中点∴BC⊥AE，BC⊥DE∴BC⊥面AED∴面ADE⊥面BCD，交线为DE过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH∴FCH为CF与面BCD所成的角 AOFH21∴aFH6632sinCFFHFCH故CF与面BCD所成的角为32arcsin[例5]在三棱锥ABCS中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB=a，aBC2。（1）求证：SC⊥平面BDE；（2）求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。解：（1）证明： SA⊥平面ABC，AB、AC、BD平面ABC∴SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD∴aABSASB222 aBC2∴SB=BC E为SC的中点∴BF⊥SC又DE⊥SC∴SC⊥平面BDE用心爱心专心（2）由（1）的结论及BD平面BDE，得BD⊥SC，再由①得BD⊥平面SAC，而CD、DE平面SAC，∴BD⊥CD、BD⊥DE∴CDE为平面BDE与平面BDC所成的二面角的平面角由AB⊥BC，得aaaBCAB...