l2盘舟戈参fj1998年第8期数学通报I)V＼一＼、、，／r直线与圆锥曲线相切的充要条件何新萌百卅电————————～1直线与圆锥曲线相切的充要条件定理1
直线++C=0与椭圆+：1相切的充要条件是：0D—
+Bb=C①其中A、日不同时为零(下同)，n>0，B>0(下同)2
直线Ax+By+C=0与双Ittt线一=±1相切的充要条件是：A20,2一B6=±C且An一B6≠0②3o直线舭+日v+C=0与抛物线=±2px相切的充要条件是：PB=±2AC(P>0)③证明(j)当B≠0时，将直线方程Y=一矿A一代人椭圆方程622+n2Y2=nb2中，化简可得关于的一元二次方程(AⅡ)B6)—2aACx+
0(c一Bb)=0，其判别式△：4a4AC一4(A
+BZbZ)·
0(C一Bb)=4aBb(A0n+Bb一C)即有△=0∞An+B
6=C，这说明直线与椭圆有两个重合交点(即相切)的充要条件是An+Bb：Cz成立．(ii)当B=0时，若直线+C=0与椭圆+：1相切，则必切于左或右顶点，此时=±／7,，代人+C=0，，得Aa+C：0或一dn+C=0，总之，有An=C．反之，若条件A2n2=C成立，则^=±，方程+C=0化为=n或=一n，这均表示一条过顶点的切线．综合(i)、(ii)，定理中1
得证．／／定理2
的证明方法类似于1
，但是化简所得的关于的方程的二次项的系数为Bb一^20,2．因此，当且仅当Bb一An≠0时，该方程才是的二次方程，再由判别式△=0得出直线与双曲线有两个重台交点(即相切)的充要条件．定理的3
的证明类似，恕不赘述．注意到Ⅱ=b=R时，椭圆即为圆，由1
立得：推论直线+毋+C=0与圆Y=相切的充要条件为：(A+日)0=c④2应用本文定理在解与圆锥曲线切线有关的问题中有许多应用，下面仅就三方面加以说明．2．1求圆锥曲线过其外一点的切线方程如果点P在圆锥曲线上
