l2盘舟戈参fj1998年第8期数学通报I)V＼一＼、、，／r直线与圆锥曲线相切的充要条件何新萌百卅电————————～1直线与圆锥曲线相切的充要条件定理1。直线++C=0与椭圆+：1相切的充要条件是：0D—。+Bb=C①其中A、日不同时为零(下同)，n>0，B>0(下同)2。直线Ax+By+C=0与双Ittt线一=±1相切的充要条件是：A20,2一B6=±C且An一B6≠0②3o直线舭+日v+C=0与抛物线=±2px相切的充要条件是：PB=±2AC(P>0)③证明(j)当B≠0时，将直线方程Y=一矿A一代人椭圆方程622+n2Y2=nb2中，化简可得关于的一元二次方程(AⅡ)B6)—2aACx+。0(c一Bb)=0，其判别式△：4a4AC一4(A。+BZbZ)·。0(C一Bb)=4aBb(A0n+Bb一C)即有△=0∞An+B。6=C，这说明直线与椭圆有两个重合交点(即相切)的充要条件是An+Bb：Cz成立．(ii)当B=0时，若直线+C=0与椭圆+：1相切，则必切于左或右顶点，此时=±／7,，代人+C=0，，得Aa+C：0或一dn+C=0，总之，有An=C．反之，若条件A2n2=C成立，则^=±，方程+C=0化为=n或=一n，这均表示一条过顶点的切线．综合(i)、(ii)，定理中1。得证．／／定理2。的证明方法类似于1。，但是化简所得的关于的方程的二次项的系数为Bb一^20,2．因此，当且仅当Bb一An≠0时，该方程才是的二次方程，再由判别式△=0得出直线与双曲线有两个重台交点(即相切)的充要条件．定理的3。的证明类似，恕不赘述．注意到Ⅱ=b=R时，椭圆即为圆，由1。立得：推论直线+毋+C=0与圆Y=相切的充要条件为：(A+日)0=c④2应用本文定理在解与圆锥曲线切线有关的问题中有许多应用，下面仅就三方面加以说明．2．1求圆锥曲线过其外一点的切线方程如果点P在圆锥曲线上，则我们可以立即写出其切点P处的切线方程，但如果点P在圆锥曲线外，要求写出由P向圆锥曲线所引的切线方程，则往往需要先求切点，再求切线方程，计算比较繁复，利用直线与圆锥曲线相切的充要条件，我们仅需求解关于切线方程++C=0的系数A、日、c的方程组，即可写出切线方程．例1求下列圆锥曲线过已知点的切线方程：．2．2(1)Po(3，4)，椭圆寺寺：]．(2)Po(6，7)，双曲线等一=1．(3)P0(1，5)，抛物线Y=16x．解设所求切线方程为++C=0(1)由于点P0(3，4)在直线舡++c=0上，及00=9，6=4，代人①式可得下列方程组1998年第8期数学通报13f3d+4B+C=0，．、19A24B2：C2消去C可得B+2AB=0，于是B=0或B=一24．以B=0代人⑤式得C=一3A，再代人直线方程舭一3,4：0即：3；以B=一2,4也代人⑤式得C=5A，再代人所设切线方程得』4一2Ay+5A=0即一2y+5=0，故过点Po(3，4)向椭圆等+=1所引的切线方程为：3与一2v+5=0．(2)由已知及2。可得方程组f6』4+7B+C=0I9A一16B2：C2消去c可得(3d+5B)(9A+13B)=0，于是』4=一或』4=一B，分别代人方程⑥，可分别得到C=3B和C=5B或5B，也就是求得了fA=一BIc：寻B．从而得所求切线方程为一{+By+3B=0与一訾+Byi5B=0，即为5一3一9=0与13x一9y一15=0．(3)由已知及3。可得方程组r』4+5B+C=0【8B2=2AC仿上可解得{-一BB或{-一4BB故所求切线方程为—y+4=0与4x—y+1=0．例2求下列由已知点向圆锥曲线所引的切线方程：(1)PI(1，4)，椭圆芸+等=1．(2)P(0，6)，双曲线一等=1．解(1)仿例1，设所求切线方程为Ax+肌+C：0并可得方程组{A4B+C0消去c得8A2—8』4B+I9A2+25B2=C2垌一D9B=0。此时当且仅当A=B=0成立，这与』4、B不同时为零矛盾，故方程组无适合要求的解，也说明该椭圆过点Pl(1，4)的切线不存在．实际上，此点在椭圆内，故不可能引切线．类似可知(2)所求的切线也不存在．利用坐标平移公式及定理，我们还可以很容易地求出对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线过已知点的切线方程．例3求曲线+{：l过已知点Po(5，1)的切线方程．解令：一2，Y=v+3，得Po(5，1)在新坐标系加l，下的坐标为(3，4)，椭圆+：l在新坐标标系XOY下的方程为每+等=l，于是问题转化为例1的问题(1)，由例l的讨论可得点(3，4)向椭圆等+4=1所引的切线方程为=3与一2l，+5=0，以=一2，Y=+3代人可得由点P0(5，1)向椭圆+{=1所引的切线方程为一5=0与一2y+3=0．2．2确定参数取值范围，使直线与圆锥曲线相切利用直线与圆锥曲线相切的充要条件，我们可以容易地求出直线或圆锥曲线方程中的某一参数取何值时，直线与圆锥曲线相切...
