例谈消参法求轨迹问题作者：于华东郑州市第十二中学邮编：450044Email：yuhd16@sina.com求动点的轨迹问题，方法很多，但对消参法的考查每年高考都是热点，高考中的轨迹问题为选拔性试题，有一定的难度，区分度好，能使优秀生脱颖而出.本文对消参法求轨迹问题略举两例，从中体会对消参法求轨迹问题的灵活考查.例1设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.分析：由直线l过点M（0，1），可设其斜率为k（斜率不存在时要讨论），则直线l的方程可表示出来，根据直线l的斜率变化直接影响动点P的轨迹，所以，只要求出点P的横、纵坐标与斜率k的关系，然后消去参数k即可求得点P的轨迹方程.解:（1）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，由直线l过点M（0，1），则l的方程为.记点A、B的坐标分别为,由题设可得点A、B的坐标是方程组的解.将代入，并化简得，所以于是.用心爱心专心设点P的坐标为,则消去参数k,得；（2）当直线l的斜率不存在时，A、B两点连线的中点为坐标原点（0，0），也满足方程.所以点P的轨迹方程为.点评：在引入直线l的斜率k为参数时，应讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，要注意解题的严谨性。例2已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.分析：(1)由题意，可设椭圆方程为设过右焦点F的直线方程为，由A、B两点为直线与椭圆的交点，且与共线，可得椭圆的长半轴长a与短半轴长b的关系，从而可求得椭圆的离心率e;(2)证明为定值的问题，可能不少同学比较陌生，如果把定值先设为某个常数（比如1，则有=1，一般可设为，则有=），则可想到把坐标看作一个动点时，其轨迹为一个圆.本问相当于设点N的坐标为，试求点N的轨迹方程（为一个以原点为圆心的圆），这样，问题的实质是考查同学们熟悉的轨迹问题.（1）解：设椭圆方程为右焦点为，则直线AB的方程为，代入，化简得.记点A、B的坐标分别为，则用心爱心专心由与共线，得又，即，所以，故离心率（2）证明：由（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得在椭圆上，即①由（1）知又，代入①得故为定值，定值为1.点评：本题的第（1）问为常规问题，第（2）问的实质为轨迹问题，通过消去参数，寻找出之间的关系，即可得证.用心爱心专心用心爱心专心
