问题32与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.二、经验分享1.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化三、知识拓展1.圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.2.圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径.3.设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一)与圆相关的最值问题的联系点1.1与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式＝(≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈时,斜率k∈[0,＋∞)；当α＝时,斜率不存在；当α∈时,斜率k∈(－∞,0)．【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是().A．B．C．D．【答案】C【解析】,且.设直线的倾斜角为,当时,则,所以倾斜角的范围为.当时,则,所以倾斜角的范围为.【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tanx的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y＝tanx的单调性求k的范围．【小试牛刀】若过点的直线与圆有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】B【解析】当过点的直线与圆相切时,设斜率为,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得或,故直线的倾斜角的取值范围是,所以B选项是正确的.1.2与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】过点的直线与圆：交于两点,为圆心,当最小时,直线的方程是．答案:解析：要使最小,由余弦定理可知,需弦长最短.要使得弦长最短,借助结论可知当为弦的中点时最短.因圆心和所在直线的,则所求的直线斜率为,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.【例3】若圆：关于直线对称,则由点向圆C所作的切线长的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圆C：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2）半径为．圆C：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b）与圆心的距离,,所以点（a,b）向圆C所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】...
