数学解题方法之待定系数法探讨3~8讲,我们对数学思想方法进行了探讨,从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中,常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。在数学问题中,若得知所求结果具有某种确定的形式,则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果,这些待确定的系数(或参数),称作待定系数。然后根据已知条件,选用恰当的方法,来确定这些系数,这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于高中数学教材的各个部分,在全国各地高考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础,通常有三种方法:比较系数法;代入特殊值法;消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“设2xfxm,fx的反函数15fxnx,那么,mn的值依次为▲”,解答此题,并不困难,只需先将fx2xm化为反函数形式122fxxm,与15fxnx中对应项的系数加以比较后,就可得到关于,mn的方程组,从而求得,mn值。这里的,mn就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“与直线L:2350xy++=平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是▲”,解答此题,只需设定直线L’的方程为230xyk++=,将A(1,-4)代入即可得到k的值,从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获解。例如:“已知b2a3,求abab的值”,解答此题,只需设定b2=ka3,则a=3kb=2k,,代入abab即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是:(1)确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式;(2)根据恒等式列出含有待定的系数的方程(组);(3)解方程(组)或消去待定系数,从而使问题得到解决。结合2012年全国各地高考的实例,我们从下面四方面探讨待定系数法的应用:(1)待定系数法在函数问题中的应用;(2)待定系数法在圆锥曲线问题中的应用;(3)待定系数法在三角函数问题中的应用;(4)待定系数法在数列问题中的应用。一、待定系数法在函数问题中的应用:典型例题:1例1.若将函数5()fxx表示为2345012345()(1)(1)(1)(1)(1)fxaaxaxaxaxax,其中0a,1a,2a,…,5a为实数,则3a▲.【答案】10。【考点】二项式定理,导数的应用。【解析】用二项式定理,由等式两边对应项系数相等得545543315544310100aCaaaCaCaa。或对等式:2550125111fxxaaxaxax两边连续对x求导三次得:2234560624(1)60(1)xaaxax,再运用特殊元素法,令1x得:3606a,即310a。例2.若函数xf(x)a(a0,a1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)(14m)x在[0,)上是增函数,则a=▲.【答案】14。【考点】函数的增减性。【解析】 xf(x)a(a0,a1),∴xf(x)alna'。当a1时, xf(x)alna0'>,函数xf(x)a(a0,a1)是增函数,∴在[-1,2]上的最大值为2f(2)a=4a=2,,最小值为11f(1)2=mm=2,。此时g(x)x,它在[0,)上是减函数,与题设不符。当0a1<<时, xf(x)alna0'<,函数xf(x)a(a0,a1)是减函数,∴在[-1,2]上的最大值为11f(1)a=4a=4,,最小值为211f(2)=mm=416,。此时3g(x)x4,它在[0,)上是增函数,符合题意。综上所述,满足条件的1a=4。例3.设()fx是定义在R上且周期为2的函数,在区间[11],上,20111()201xxaxfxbxx≤≤≤,,,,其中abR,.若1322ff,则3ab的值为▲.【答案】10。【考点】周期函数的性质。【解析】 ()fx是定义在R上且周期为2的函数,∴11ff,即21=2ba①。又 311=1222ffa,1322ff,∴141=23ba②。联...