高三数学 名校尖子生培优系列 数学解题方法一 待定系数法探讨 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

数学解题方法之待定系数法探讨3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于高中数学教材的各个部分，在全国各地高考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“设2xfxm，fx的反函数15fxnx，那么,mn的值依次为▲”，解答此题，并不困难，只需先将fx2xm化为反函数形式122fxxm，与15fxnx中对应项的系数加以比较后，就可得到关于,mn的方程组，从而求得,mn值。这里的,mn就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“与直线L：2350xy++＝平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是▲”，解答此题，只需设定直线L’的方程为230xyk++＝，将A(1,-4)代入即可得到k的值，从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知b2a3，求abab的值”，解答此题，只需设定b2=ka3，则a=3kb=2k，，代入abab即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨待定系数法的应用：（1）待定系数法在函数问题中的应用；（2）待定系数法在圆锥曲线问题中的应用；（3）待定系数法在三角函数问题中的应用；（4）待定系数法在数列问题中的应用。一、待定系数法在函数问题中的应用：典型例题：1例1.若将函数5()fxx表示为2345012345()(1)(1)(1)(1)(1)fxaaxaxaxaxax，其中0a，1a，2a，…，5a为实数，则3a▲．【答案】10。【考点】二项式定理，导数的应用。【解析】用二项式定理，由等式两边对应项系数相等得545543315544310100aCaaaCaCaa。或对等式：2550125111fxxaaxaxax两边连续对x求导三次得：2234560624(1)60(1)xaaxax，再运用特殊元素法，令1x得：3606a，即310a。例2.若函数xf(x)a(a0,a1)在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)x在[0,)上是增函数，则a＝▲.【答案】14。【考点】函数的增减性。【解析】 xf(x)a(a0,a1)，∴xf(x)alna'。当a1时， xf(x)alna0'>，函数xf(x)a(a0,a1)是增函数，∴在［－1，2］上的最大值为2f(2)a=4a=2，，最小值为11f(1)2=mm=2，。此时g(x)x，它在[0,)上是减函数，与题设不符。当0a1<<时， xf(x)alna0'<，函数xf(x)a(a0,a1)是减函数，∴在［－1，2］上的最大值为11f(1)a=4a=4，，最小值为211f(2)=mm=416，。此时3g(x)x4，它在[0,)上是增函数，符合题意。综上所述，满足条件的1a=4。例3.设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]，上，20111()201xxaxfxbxx≤≤≤，，，，其中abR，．若1322ff，则3ab的值为▲．【答案】10。【考点】周期函数的性质。【解析】 ()fx是定义在R上且周期为2的函数，∴11ff，即21=2ba①。又 311=1222ffa，1322ff，∴141=23ba②。联...