第五章第六节解斜三角形应用举例题组一距离问题1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A.海里/时B．34海里/时C.海里/时D．34海里/时解析：如图．由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°.在△PMN中，由正弦定理，得sin120sin45MNPM，∴MN=68×3222=346.又由M到N所用时间为14-10=4小时，∴船的航行速度v=34617642(海里/时)．答案：A2．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30km.答案：3023．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．1解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝＝a.题组二高度问题4．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=310.在三角形BPC中，由余弦定理可得cos2θ=22210330103210330()+-()=32，所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD中，可得PD=PC·sin4θ=102·32=15(m)．答案：15m5．某人在山顶观察地面上相距2500m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1m)．解：画出示意图(如图所示)设山高PQ=h，则△APQ、△BPQ均为直角三角形，在图(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°.∴AQ=3tan30PQh，BQ=tan45PQ=h.在图(2)中，2∠AQB=57°+78°=135°，AB=2500，所以由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB，即25002=(3h)2+h2-23h·h·cos135°=(4+6)h2，∴h=250046≈984.4(m)．答：山高约984.4m.题组三角度问题6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°解析： c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝(sinC＋cosC)，即sinC＝－cosC.∴tanC＝－.又C∈(0,180°)，∴C＝120°.答案：A7．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A题组四正、余弦定理的综合应用8.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为()A．300mB．400mC．200mD．200m解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面．则BC=100，∠BDC=30°，∠BAD=30°，∴BD=200，AB=2BD=400米．答案：B9．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．解析：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．3由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-42000t+40000.当t=7043时DE最小．答案：704310．(2010·长沙模拟)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该...
