核心素养测评四十一数列与函数、不等式的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则()A.a1<0,01C.a1>0,00,q>1【解析】选A.因为Sn<0,所以a1<0,又数列{an}为递增等比数列,所以an+1>an,且|an|>|an+1|,则-an>-an+1>0,则q=∈(0,1),所以a1<0,00”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由S4+S6-2S5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知当d>0时,有S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5,反之,若S4+S6>2S5,则d>0,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S6-2S5=d,结合充分必要性的判断,若p⇒q,则p是q的充分条件,若p⇐q,则p是q的必要条件,该题“d>0”“⇔S4+S6-2S5>0”,故互为充要条件.3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a2·a6·a10=3,b1+b6+b11=7π,则tan的值是()A.1B.C.-D.-【解析】选D.因为是等比数列,所以a2·a6·a10==3,所以a6=.因为{bn}是等差数列,所以b1+b6+b11=3b6=7π.所以b6=,所以tan=tan=tan=-tan=-tan=-.4.数列{an}满足an=n2+kn+2,若不等式an≥a4恒成立,则实数k的取值范围是()A.[-9,-8]B.[-9,-7]C.(-9,-8)D.(-9,-7)【解析】选B.由已知得n2+kn+2≥4k+18,即(4-n)k≤n2-16,其中n∈N*.当n=1,2,3时,k≤(-n-4)min=-7;当n=4时,等号成立;当n≥5时,k≥(-n-4)max=-9,所以实数k的取值范围是[-9,-7].5.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2+n(n∈N*),设数列满足:bn=,数列的前n项和为Tn,若Tn<λ(n∈N*)恒成立,则实数λ的取值范围为()世纪金榜导学号A.B.C.D.【解析】选D.数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2+n,①当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2+(n-1),②①-②得an=2n,故an=2n2,数列满足:bn===则:Tn==,由于Tn<λ(n∈N*)恒成立,故:<λ,整理得λ>,因为y==在n∈N*上单调递减,故当n=1时,=,所以λ>.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知f(x)=,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2010=a2012,则a20+a11的值是.【解析】因为an+2=f(an)=,a1=1,所以a3=,a5==,a7==,a9==,a11==,又a2010=a2012,即a2010=⇒+a2010-1=0,所以a2010=.又a2010==,所以1+a2008==,即a2008=,依次类推可得a2006=a2004=…=a20=,故a20+a11=+=.答案:7.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)数列{an}的通项公式为.(2)数列的前n项和为.【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3.又{an}是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,故an=2+(n-2)×=n+1.(2)设数列的前n项和为Sn,Sn=+++…++,①Sn=+++…++,②①-②得Sn=+++…+-=+++…+-=+-,所以Sn=+-=2-.答案:(1)an=n+1(2)2-8.(2020·成都模拟)数列是等差数列,a1=1,公差d∈,且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为.世纪金榜导学号【解析】因为a4+λa10+a16=15,所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=-2,因为d∈,所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=-2,当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·北京高考)设{an}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.(1)求{an}的通项公式.(2)求++…+.【解析】(1)由已知,设{an}的公差为d,则a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln2,又a1=ln2,所以d=ln2,所以{an}的通项公式为an=ln2+(n-1)ln2=nln2(n∈N*).(2)由(1)及已知,=enln2=(eln2)n=2n,所以++…+=21+22+…+2n==2n+1-2(n∈N*).10.(2020·武汉模拟)数列{an}满足:++…+=n2+n,n∈N*.世纪金榜导学号(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn>的最小正整数n.【解析】(1)因为++…+=n2+n,n=1时,可得a1=4,n≥2时,++…+=(n-1)2+n-1.与++…+=n2+n.两式相减可得=(2n-1)+1=2n.所以an=2n(n+1),当n=1时,也满足,所以an=2n(n+1).(2)bn===,所以Sn==.又Sn>,所以n>9,所以最小正整数n为10.
