核心素养测评十五利用导数研究函数的极值、最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)=+lnx则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点【解析】选D.f′(x)=-+=,由f′(x)>0,得x>2,所以f(x)的增区间为,f(x)的减区间为(0,2),所以f(x)只有极小值,极小值点为x=2.2.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数f′(x)的图像如图,则下列结论正确的是()A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是增函数D.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选C.由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图像可知,函数f(x)在区间(a,+∞)上是增函数.3.(2020·榆林模拟)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为()A.15B.16C.17D.18【解析】选D.因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,所以f′(2)=12-3a=0,解得a=4,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-12x+2,f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0,得x=±2,故函数f(x)在(-2,2)上是减少的,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增加的,由此可知当x=-2时,函数f(x)取得极大值f(-2)=18.4.(2020·湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤【解析】选B.设销售利润为g(x),得g(x)=-x3+ax2+x-1-x=-x3+ax2-1,当x=2时,g(2)=-×23+a×22-1=2.5,解得a=2.所以g(x)=-x3+x2-1,g′(x)=-x2+x=-x(x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.若函数f(x)=ax-lnx在区间(0,e]上的最小值为3,则实数a的值为世纪金榜导学号()A.e2B.2eC.D.【解题指南】(1)判断单调区间,把a分为a≤0与a>0两种情况来确定单调区间,而a>0时又要将与区间(0,e]进行比较讨论;(2)根据各种情况的单调区间确定各种情况下的最小值,每计算一个a的值都要记得检验是否满足前提范围.【解析】选A.因为f(x)=ax-lnx,(x>0),所以f′(x)=a-=(x>0).①当a≤0时,f′(x)<0,则f(x)在(0,e]上为减函数,此时f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=>0(舍去).②当a>0时,当0e时,即a<时,f(x)在(0,e]上为减函数,f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=>(舍去),综上所述:a=e2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·濮阳模拟)函数f(x)=ex-2x的最小值为.【解析】f′(x)=ex-2,令f′(x)=ex-2=0,解得x=ln2.可得:函数f(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.所以x=ln2时,函数f(x)取得极小值也是最小值,f(ln2)=2-2ln2.答案:2-2ln27.(2020·咸阳模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=.【解析】由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f′(x)=-a=0,得x=,当00;当x>时,f′(x)<0.所以f(x)max=f=-lna-1=-1,解得a=1.答案:18.已知函数f(x)=当x∈(-∞,m]时,函数f(x)的取值范围为[-16,+∞),则实数m的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】当x≤0时,f′(x)=3(2+x)(2-x),所以当x<-2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当-20,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=-2处取最小值f(-2)=-16.画出函数的图像,结合函数的图像得-2≤m≤8时,函数f(x)总能取到最小值-16,故m的取值范围是[-2,8].答案:[-2,8]三、解答题(每小题10分,共20分)9.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a,b的值.(2)设函数g(x)的导数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2)由(1)知f(x)=x3-3x,则g′(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,即函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x<...
