2.2从位移的合成到向量的加法课后导练基础达标1.下列等式正确的个数是()①0-a=-a②-(-a)=a③a+(-a)=0④a+0=a⑤a-b=a+(-b)⑥a+(-a)=0A.3B.4C.5D.6解析:只有第⑥个错误.答案：C2.化简（-）+（-）的结果是()A.0B.C.D.解析：（-）+（-）=+++=+++=.答案：D3.已知下列各式，其中结果为0的个数为（）①++②（+）++③④+++A.1B.2C.3D.4解析：①④两式结果为0.答案：B4.如右图，正方形ABCD的边长为1，则|+++|等于…（）A.1B.C.3D.解析：|+++|=|2|=2||=.答案：D5.如右图，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（）A.+=B.+=C.+=D.+=答案：C6.若||=7，||=3，则||的取值范围_________.解析：||=|-|，当与同向时，||min=4；当与反向时，||max=10.答案：4≤||≤107.设向量a表示“向东走6m”，b表示“向北走6m”，则|a+b|________=,a+b的方向是______.解析:由向量加法的三角形法则知|a+b|=，而a+b的方向是东北方向.答案：m东北方向8.求证：对任意向量a、b，都有|a+b|≤|a|+|b|.证明：(1)当a、b不共线时，如右图，a+b=，∵△OAB中||＜||+||,∴|a+b|≤|a|+|b|.(2)当a,b共线时，a,b同向则|a+b|=|a|+|b|；a,b反向则|a+b|＜|a|+|b|.∴对任意向量a,b，都有|a+b|≤|a|+|b|.9.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，若船从A处出发，沿垂直水流的航线到达对岸，船的航速是多少？方向怎样？解析：v实=，tan∠ABC=,∴∠ABC=60°,答：船的速度是m/s，与水流的夹角是60°.综合运用10.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向()A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.答案：A11.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则()A.a∥b，且a与b方向相同B.a、b是共线向量C.a=-bD.a、b无论什么关系均可解析:当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|＜|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|＜|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.答案：A12.已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量=_______.解析：如右图，=a,=b,=c,则=+=+=+（-）=a+(c-b)=a+c-b答案：a+c-b13.在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则四边形ABCD是__________（填正方形或矩形或菱形）.解析：由|+|=|-|，即||=||，可得ABCD是一个特殊的平行四边形--矩形.答案：矩形14.已知=a，=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°.（1）求|a+b|,|a-b|.（2）求a+b与a的夹角，a-b与a的夹角.解析：如右图，以，为邻边作平行四边形OACB，∵|a|=|b|=4,∠AOB=60°,∴OACB为菱形.(1)a+b=+=,a-b=-=,∴|a+b|=||=2||=2××4=,|a-b|=||=4.（2）∵∠COA=∠AOB=30°，a+b与a所成的角即∠COA=30°，a-b与a所成的角即与所成的角∠CBA=60°.拓展探究15.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10nmile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9nmile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18nmile/h.要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用的时间.思路分析：本题是实际问题，首先根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，即可解决几何问题.解：如右图，渔船在A处遇险，货船在B处，货船在C处与渔船相遇，设所用时间为t，由已知△ABC为直角三角形.||=10,||=9t,||=18t,由勾股定理得：||2=||2+||2.∴182t2=100+92t2.∴t2=.∴t≈0.64.sin∠ABC=，∴∠ABC=30°.∴货船应沿东偏南30°的方向行驶，最快可用0.64小时将渔船救出险境.
