高中数学 第二章 平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

2.2从位移的合成到向量的加法典题精讲例1下面给出了四个式子：①++；②+++；③-+-；④.其中值为0的是（）A.①②B.①③C.①③④D.①②③思路解析：++=+=0；+++=(+)+(+)=+=;-+-=+=0；==0.答案：C绿色通道：(1)解决向量的加减法的有关问题时，要结合几何图形的特征，善于应用+=和-=解决.(2)化简含有向量的关系式一般有两种方法：①利用几何方法通过作图实现化简；②利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.变式训练如图2-2-4，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分别是AD、BC、AB与CD的中点，则等于（）图2-2-4A.+B.+C.D.思路解析：连结交于点M，则有==+=.答案：C例2用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.答案:已知：如图2-2-5所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，且AO=OC,DO=OB.图2-2-5求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：根据向量加法的三角形法则，有=+,=+.又∵=，=,∴+=+.∴=.∴∥，=,即AB与DC平行且相等.∴四边形ABCD是平行四边形.绿色通道：用向量法解决应用问题的步骤为：（1）将应用问题中的量抽象成向量；（2）化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为应用问题.变式训练一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船的实际速度.思路分析：可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.解：如图2-2-6，设表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，图2-2-6则∠AOC=30°，||=5km/h.∵四边形OACB为矩形，∴||=，||=,即水流速度是km/h，船的实际速度为10km/h.问题探究问题1已知向量a、b，试探索|a+b|与|a|+|b|的大小.导思：利用向量加法的几何意义来分析.因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向.探究：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有a+b=0+a或a+b=0+b，∴|a+b|=|0+a|=|a|+|b|或|a+b|=|0+b|=|a|+|b|.∴|a+b|=|a|+|b|.（2）当a、b均为非零向量时，作=a,=b,则a+b=.图2-2-7若a、b不共线，如图2-2-7所示，则点O、A、B不共线，则点O、A、B构成△OAB.由三角形任意两边之和大于第三边得||+||＞||.即|a+b|＜|a|+|b|.若a、b同向共线时，如图2-2-8所示，图2-2-8则点O、A、B共线.此时||+||=||,即|a+b|=|a|+|b|.当a、b异向共线时，如图2-2-9所示,图2-2-9则点O、A、B共线.此时如图2-2-9（甲）所示，有||=||+||，则|a|=|a+b|+|b|.如图2-2-9（乙）所示，有||+||=||，则|a|+|a+b|=|b|.∴|a+b|＜|a|+|b|.综上所得,|a+b|≤|a|＋|b|.由本题还可得结论：|a+b|≥||a|－|b||.∴对于向量a、b，有如下结论：||a|－|b||≤|a+b|≤|a|＋|b|.下面看此结论的应用.例如：已知|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值是__________，最小值是__________.思路分析：由题意，得|12－8|≤|a+b|≤12＋8，4≤|a+b|≤20.答案：204