数学苏教必修4第2章平面向量单元检测(满分:100分时间:60分钟)一、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.化简的结果为__________.2.已知=(2,8),=(-7,2),则等于__________.3.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y等于__________.4.已知|a|=6,e为单位向量,当a,e的夹角为120°时,a·e等于__________.5.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)6.已知点A(1,-2),若向量与a=(2,3)同向,,则点B的坐标为__________.7.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,则a·a+a·b=__________.8.△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m=__________.9.(2012江苏高考,9)如图,在矩形ABCD中,,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是__________.10.O为△ABC中线AM上的一个动点,若AM=2,则的最小值是__________.二、解答题(本大题共4小题,共50分)11.(12分)(1)已知a=(4,2),求与a垂直的一个单位向量的坐标.(2)若|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为120°,求|a+b|的值.12.(12分)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-5,-1),B(4,1),C(0,4).(1)求△ABC的面积.(2)若四边形ABCD为平行四边形,求D点的坐标.13.(12分)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a千米/时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向.14.(14分)已知平面上三个向量a,b,c,其中a=(1,2).(1)若|c|=,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ的余弦值.参考答案1.答案:解析:运用向量加法的多边形法则运算求解.2.答案:(-3,-2)解析:∵=(-9,-6),∴=(-3,-2).3.答案:7解析:∵a∥b,∴2(-1+y)-3×4=0,∴y=7.4.答案:-3解析:a·e=|a|·|e|·cos120°=6×=-3.5.答案:②解析:当a=0时,①不成立;对于②,若a∥b,则-2k=6,∴k=-3,②成立;对于③,由于|a|=|b|=|a-b|,则以|a|,|b|为邻边的平行四边形为菱形,如图.∠BAD=60°,=a+b,由菱形的性质可知,a与a+b的夹角为∠DAC=30°.6.答案:(5,4)解析:由题意可设=λa=(2λ,3λ)(λ>0),∵,∴.解得λ=2,∴=(4,6).又∵A(1,-2),∴B(5,4).7.答案:解析:a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos120°=.8.答案:1解析:设△ABC是直角三角形,∠C=90°,则H与C重合,O为AB的中点,,故m=1.9.答案:解析:由得,,即,又∵,∴,∴,故====+2=-+2=-2+2=.10.答案:-2解析:设=x,0≤x≤2,则=2-x,如图.由题意易得,.又∵,∴==|cos180°==-2x(2-x)=2(x2-2x)=2(x-1)2-2.当x=1时有最小值-2,此时O为AM的中点.11.解:(1)与向量a垂直的一个向量为(-2,4),又|a|=,∴与向量a垂直的一个单位向量的坐标为,即.(2)由已知a·b=2×1×=-1,∴|a+b|2=22+(-2)+1=3,∴|a+b|=.12.解:(1)设AB边上的高为CE.设E(x,y),则=(x,y-4),=(x+5,y+1),=(9,2).由于,则9x+2(y-4)=0.①由于与共线,则2(x+5)-9(y+1)=0.②由①②解得则=.S△ABC=.(说明:本题还可用数量积去解).(2)设D(m,n),∵=(m+5,n+1),=(-4,3),又∵,∴∴∴D(-9,2).13.解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感到风速为-a,设实际风速为v,那么此人感到的风速为v-a.如图,设=-a,=-2a,∵,∴=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速.∵,∴=v-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时,所感受到由东北方向吹来的风速就是,由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,从而,△POB为等腰直角三角形.∴PO=PB=a,即|v|=a,∴实际风速是大小为a的西北风.14.解:(1)不妨设c=λa=(λ,2λ),所以|c|2=5λ2.∵|c|=,∴|c|2=20.∴5λ2=20,∴λ=±2.∴c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)∵a=(1,2),∴|a|=∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,∴2a2+3a·b-2b2=0,∴2×5+3a·b-2×=0.∴a·b=.∴cosθ=.