高中数学 第2章 平面向量单元检测 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

数学苏教必修4第2章平面向量单元检测(满分：100分时间：60分钟)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．化简的结果为__________．2．已知＝(2,8)，＝(－7,2)，则等于__________．3．若a＝(2,3)，b＝(4，－1＋y)，且a∥b，则y等于__________．4．已知|a|＝6，e为单位向量，当a，e的夹角为120°时，a·e等于__________．5．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)6．已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，，则点B的坐标为__________．7．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝__________.8．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m＝__________.9．(2012江苏高考，9)如图，在矩形ABCD中，，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是__________．10．O为△ABC中线AM上的一个动点，若AM＝2，则的最小值是__________．二、解答题(本大题共4小题，共50分)11．(12分)(1)已知a＝(4,2)，求与a垂直的一个单位向量的坐标．(2)若|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为120°，求|a＋b|的值．12．(12分)如图，已知△ABC的三个顶点的坐标为A(－5，－1)，B(4,1)，C(0,4)．(1)求△ABC的面积．(2)若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标．13．(12分)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a千米/时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．14．(14分)已知平面上三个向量a，b，c，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ的余弦值．参考答案1.答案：解析：运用向量加法的多边形法则运算求解．2.答案：(－3，－2)解析：∵＝(－9，－6)，∴＝(－3，－2)．3.答案：7解析：∵a∥b，∴2(－1＋y)－3×4＝0，∴y＝7.4.答案：－3解析：a·e＝|a|·|e|·cos120°＝6×＝－3.5.答案：②解析：当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠DAC＝30°.6.答案：(5,4)解析：由题意可设＝λa＝(2λ，3λ)(λ＞0)，∵，∴.解得λ＝2，∴＝(4,6)．又∵A(1，－2)，∴B(5,4)．7.答案：解析：a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos120°＝.8.答案：1解析：设△ABC是直角三角形，∠C＝90°，则H与C重合，O为AB的中点，，故m＝1．9.答案：解析：由得，，即，又∵，∴，∴，故＝＝＝＝＋2＝－＋2＝－2＋2＝.10.答案：－2解析：设＝x,0≤x≤2，则＝2－x，如图．由题意易得，.又∵，∴＝＝|cos180°＝＝－2x(2－x)＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2.当x＝1时有最小值－2，此时O为AM的中点．11.解：(1)与向量a垂直的一个向量为(－2,4)，又|a|＝，∴与向量a垂直的一个单位向量的坐标为，即.(2)由已知a·b＝2×1×＝－1，∴|a＋b|2＝22＋(－2)＋1＝3，∴|a＋b|＝.12.解：(1)设AB边上的高为CE.设E(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(x＋5，y＋1)，＝(9,2)．由于，则9x＋2(y－4)＝0.①由于与共线，则2(x＋5)－9(y＋1)＝0.②由①②解得则＝.S△ABC＝.(说明：本题还可用数量积去解)．(2)设D(m，n)，∵＝(m＋5，n＋1)，＝(－4,3)，又∵，∴∴∴D(－9,2)．13.解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此人感到的风速为v－a.如图，设＝－a，＝－2a，∵，∴＝v－a.这就是感到由正北方向吹来的风速．∵，∴＝v－2a.于是当此人的速度是原来的2倍时，所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形．∴PO＝PB＝a，即|v|＝a，∴实际风速是大小为a的西北风．14.解：(1)不妨设c＝λa＝(λ，2λ)，所以|c|2＝5λ2.∵|c|＝，∴|c|2＝20.∴5λ2＝20，∴λ＝±2.∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵a＝(1,2)，∴|a|＝∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，∴2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0.∴a·b＝.∴cosθ＝.