【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章平面向量7向量应用举例学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值是()A．－1B．1C．2D．－1或2【解析】因为直线l的法向量为(m,2)，由题意得(m,2)(1－m,1)＝0，所以m(1－m)＋2＝0，解得m＝2或－1.【答案】D2．点P(1,2)到直线l：5x－12y－7＝0的距离d＝()A．2B．4C.D．3【解析】d＝＝＝2.【答案】A3．在平面直角坐标系xOy中，已知向量OA与OB关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足OA2＋a·AB＝0的点A(x，y)的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋y2＝0D．x2＋(y－1)2＝1【解析】因为OA与OB关于y轴对称，所以OB＝(－x，y)，所以OA2＝x2＋y2，AB＝OB－OA＝(－2x,0)，所以OA2＋a·AB＝0可表示为x2＋y2＋(1,0)·(－2x,0)＝0，即(x－1)2＋y2＝1.【答案】B4．已知△ABC满足AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解析】由题意得，AB2＝AB·AC＋AB·CB＋CA·CB＝AB·(AC＋CB)＋CA·CB＝AB2＋CA·CB，∴CA·CB＝0，∴CA⊥CB，∴△ABC是直角三角形．【答案】C5．如图2－7－3所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB中点，若DE⊥AC，则DE＝()图2－7－3A．B．2C．3D．2【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，E(2,0)．设AD＝m.则D(0，m)，C(4，m)． DE⊥AC，∴DE·AC＝0，而DE＝(2，－m)，AC＝(4，m)，∴8－m2＝0，即m2＝8，∴|DE|＝＝＝2.【答案】B二、填空题6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(2，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度)．设开始时点P的坐标为(－1,1)，则3秒后点P的坐标为________．【解析】设点A(－1,1)，3秒后点P运动到B点，则AB＝3v，所以OB－OA＝3v，所以OB＝OA＋3v＝(－1,1)＋3(2，－3)＝(5，－8)．【答案】(5，－8)7．河水的流速为2m/s，一艘小船以10m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s.【解析】设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2，|v|＝10.因为v⊥v1，所以v·v1＝0，所以|v2|＝|v－v1|＝＝＝＝2.【答案】28．在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝________.【导学号：66470060】【解析】选CA，CB为基底，则AD＝CA＋CB，BE＝－CB＋CA，∴AD·BE＝·＝－CA2－CB2＋CA·CB＝－－＋×1×1×cos60°＝－.【答案】－三、解答题9．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．(1)求AB·AC和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；(2)若M为BC边的中点，求|AM|.【解】(1)由题意得AB＝(3，－1)，AC＝(－1，－3)，AB·AC＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，所以AB⊥AC，即∠A＝90°.因为|AB|＝|AC|，所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．又因为A(1,2)，所以AM＝(1，－2)，所以|AM|＝＝.10.如图2－7－4，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，求∠MPN.图2－7－4【解】设OA＝a，OB＝b且AM，BN的夹角为θ，则OM＝b，ON＝a.又 AM＝OM－OA＝b－a，BN＝ON－OB＝a－b，∴AM·BN＝·＝－5，|AM|＝，|BN|＝，∴cosθ＝＝－.又 θ∈[0，π]，∴θ＝.又 ∠MPN即为向量AM，BN的夹角，∴∠MPN＝.[能力提升]1．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且OP＝，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上【解析】由OP＝，得2OP＝3OA－OB，即2(OP－OA)＝OA－OB，即2AP＝BA＝－AB，即AP＝－AB，所以点P在线段AB的反向延长线上．【答案】B2．(2016·宝鸡高一检测)设P，Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝AB＋AC，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为()A．B．C.D．【解析】如图(1)所示，过P作PE∥AC，交AB于点E，过P作PF∥AB，交AC于点F，过C作CD⊥AB，垂足为D，(1)(2)由平面向量基本定理及AP＝AB＋AC，可知AF＝AC，|PE|＝|AF|，故＝＝，又因为Rt...
