【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章平面向量5从力做的功到向量的数量积学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于()A．－1B．0C．1D．2【解析】(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|·cos60°－b2.又|a|＝1，|b|＝1，故(2a－b)·b＝1－1＝0.【答案】B2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为()A．1B．C．2D．3【解析】因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝a2－mb·a＝32－m×2×3×cos60°＝9－3m＝0.所以m＝3.【答案】D3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝()A．1B．13C．2D．3【解析】因为|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4×32－4×3×7×cos180°＋72＝169，所以|2a－b|＝13.【答案】B4．(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6【解析】如图所示，由题设知：AM＝AB＋BM＝AB＋AD，NM＝AB－AD，∴AM·NM＝·＝|AB|2－|AD|2＋AB·AD－AB·AD＝×36－×16＝9.【答案】C5．(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A．B．C.D．π【解析】由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又 |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0，∴cosθ＝.又 0≤θ≤π，∴θ＝.【答案】A二、填空题6．已知|a|＝1，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.【解析】因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋9＝16.所以2a·b＝－6，又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－6＋9＝4，即|a＋b|＝2.【答案】27．已知a⊥b，c与a，b的夹角均为60°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a－2b－c)2＝________.【解析】(a－2b－c)2＝|a|2＋4|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋4b·c. a⊥b，∴a·b＝0.a·c＝|a||c|cos60°＝1×3×＝，b·c＝|b||c|cos60°＝2×3×＝3，∴原式＝1＋4×4＋9－2×＋4×3＝35.【答案】358．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.【导学号：66470056】【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5三、解答题9．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，求a与b的夹角θ的范围．【解】由(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×32－2×42＋3a·b≥4，得a·b≥6，∴cosθ＝＝≥＝.又 θ∈[0，π]，∴θ∈.10．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．【解】 a⊥b，∴a·b＝0，又由已知得[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0. |a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0，∴k＝(t2－3t)＝2－(t≠0)．故当t＝时，k取最小值－.[能力提升]1．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于()A．－25B．－20C．－15D．－10【解析】 AB＋BC＋CA＝0，∴|AB＋BC＋CA|2＝|AB|2＋|BC|2＋|CA|2＋2AB·BC＋2BC·CA＋2AB·CA＝9＋16＋25＋2(AB·BC＋BC·CA＋AB·CA)＝0，∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝－25.【答案】A2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()A．1B．C.D．【解析】 c与a＋b共线，∴c＝λ(a＋b)，∴|a＋c|2＝|a＋λ(a＋b)|2＝|(λ＋1)a＋λb|2＝(λ＋1)2＋λ2＋2λ(λ＋1)a·b＝2λ2＋2λ＋1＋2λ(λ＋1)×cos120°＝λ2＋λ＋1＝2＋.当λ＝－时，|a＋c|min＝.【答案】D3．若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为________．【解析】因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1·e2＝|e1||e2|cos＝1×1×＝，|a|2＝a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝4×12＋4×＋12＝7，|b|2＝b2＝(－3e1＋2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e＝9×12－12×...
