5从力做的功到向量的数量积课时跟踪检测一、选择题1．下列命题：①若a≠0，且b≠0，则a·b≠0；②若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；③若a≠0，由a·b＝a·c可得b＝c；④若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中正确命题的个数是()A．0个B．2个C．3个D．4个解析：①为假命题，因为a与b垂直时，a·b＝0；②为假命题，因为a·b＝0也有可能a与b垂直但均不为零向量；③为假命题，由a≠0，a·b＝a·c可得b与c在a方向上的射影相等；④为假命题，例如：a⊥b，a⊥c，但b≠c，且a≠0也能使条件a·b＝a·c成立，所以四个命题均为假命题．答案：A2．向量a的模为10，它与x轴的夹角为120°，则它在x轴上的射影为()A．－5B．－5C．5D．5解析：射影为10×cos120°＝－5.答案：A3．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.向量a与b的夹角θ为()A．B．C．D．解析：∵|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9，∴4a2－4a·b－3b2＝9，∴4×22－8cosθ－3＝9，∴cosθ＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.答案：B4．在△ABC中，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对解析：∵a＋b＋c＝BC＋CA＋AB＝0，∴a＋b＝－c，又∵a·b＝b·c＝c·a，∴c·(a－b)＝0.∴－(a＋b)·(a－b)＝0，∴|a|＝|b|.同理|a|＝|c|，|b|＝|c|.∴△ABC是等边三角形．答案：C5．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ等于()A．B．C．D．解析：AE＝AB＋λBC，AF＝AD＋μDC，∴AE·AF＝(AB＋λBC)·(AD＋μDC)＝AB·AD＋μAB·DC＋λBC·AD＋λμBC·DC，∴1＝2·2cos120°＋μ·2·2·cos0°＋λ·2·2·cos0°＋λμ·2·2cos120°，化简为4(λ＋μ)－2λμ＝3，①又∵CE·CF＝－，∴(2－2λ)·(2－2μ)·cos120°＝－，∴4(λ＋μ)－4λμ＝，②①×2－②得，4(λ＋μ)＝，∴λ＋μ＝.答案：C6．(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为()A．B．C．D．3解析：建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A，B，C，D，点E在CD上，则DE＝λDC(0≤λ≤1)，设E(x，y)，则＝λ，即据此可得E，且AE＝，BE＝，由数量积的坐标运算法则可得，AE·BE＝＋λ×，整理可得AE·BE＝(4λ2－2λ＋2)(0≤λ≤1)，结合二次函数的性质可知，当λ＝时，AE·BE取得最小值.故选A．答案：A二、填空题7．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．解析：由已知得a·b＝0，(3a＋2b)·(λa－b)＝0，∴3λa2－3a·b＋2λb·a－2b2＝0，∴3λ×4－2×9＝0，∴λ＝.答案：8．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－6e1·e2＋4e1·e2－8e＝－5－2e1·e2＝－5－2×1×1×cos＝－6.答案：－69．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且AD·AB＝AD·AC，则AD·AB的值等于________．解析：∵AD·AB＝AD·AC，∴AD·(AC－AB)＝0，AD·BC＝0.∴AD⊥BC.又∵∠ABC＝30°，∴∠BAD＝60°.∴AD·AB＝|AD|·|AB|·cos60°＝(|AB|·cos60°)·|AB|·cos60°＝4.答案：4三、解答题10．已知a和b夹角为60°，|a|＝5，|b|＝4.(1)求|a＋b|；(2)求a＋b与a的夹角θ的余弦值．解：a·b＝|a|·|b|cos60°＝5×4×＝10.(1)|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝25＋16＋2×10＝61，∴|a＋b|＝.(2)∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝25＋10＝35，∴cosθ＝＝＝.11．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设AB＝a，AC＝b.(1)试用a，b表示AD；(2)求AD·BC的值．解：(1)∵BC＝b－a，∴AD＝AB＋BC＝a＋b.(2)a·b＝|a|·|b|cos120°＝－1，AD·BC＝b2－a2＋a·b＝－.12．已知O为△ABC所在平面上一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，试判断△ABC的形状．解：如图，(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝CB·[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝CB·(AB＋AC)＝0，则CB·＝0，又(AB＋AC)＝AD(D为BC中点)，∴CB·AD＝0，∴CB⊥AD，即CB⊥AD.∴△ABC为等腰三角形．13．已知向量a＝(，－1)，b＝.(1)求证：a⊥b；(2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k与t的关系；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵a＝(，－1)，b＝.∴a·b＝－＝0，∴a⊥b.(2)假设存在非零实数k和t，使x⊥y.则[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，整理得－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0.∵a·b＝0，a2＝4，b2＝1，∴－4k＋t(t2－3)＝0.∴k＝t(t2－3)(t≠0)．∴存在非零实数k，t使x⊥y成立，其关系式为k＝(t3－3t)(t≠0)．
