【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章平面向量3.1数乘向量学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·蜀山高一检测)如图2－3－2，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于()图2－3－2A．(a－b)B．－(a－b)C.(a＋b)D．－(a＋b)【解析】∵M是BC的中点，∴AM＝(a＋b)．【答案】C2．点C在线段AB上，且AC＝AB，则AC等于()A．BCB．BCC．－BCD．－BC【解析】∵AC＝AB，∴BC＝－AB，∴AC＝－BC.【答案】D3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果OA＝3e1，OB＝3e2，则OD＝()A．e1＋2e2B．2e1＋e2C.e1＋e2D．e1＋e2【解析】∵AB＝OB－OA＝3(e2－e1)，∴AD＝AB＝2(e2－e1)，∴OD＝OA＋AD＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.【答案】A4．设P是△ABC所在平面内一点，BC＋BA＝2BP，则()图2－3－3A．PA＋PB＝0B．PB＋PC＝0C.PC＋PA＝0D．PA＋PB＋PC＝0【解析】法一：∵BC＋BA＝2BP，∴(BC－BP)＋(BA－BP)＝0，即PC＋PA＝0.法二：∵BC＋BA＝2BP，∴点P为AC的中点，∴PA＋PC＝0.【答案】C5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A．B．－C.D．【解析】由题意知CD＝CA＋AD，①CD＝CB＋BD，②且AD＋2BD＝0.①＋②×2得3CD＝CA＋2CB，所以CD＝CA＋CB，所以λ＝.【答案】A二、填空题6．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是________．【解析】原式＝[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝2b－a.【答案】2b－a7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.【导学号：66470046】图2－3－4【解析】如图所示，AB＋AD＝AC.又O为中点，所以AC＝2AO，λ＝2.【答案】28．(2016·北海高一检测)已知在△ABC中，点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为________．【解析】∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．如图，AD＝AM，而AB＋AC＝2AD，故AB＋AC＝2×AM＝3AM，∴m＝3.【答案】3三、解答题9．设a，b是不共线的两个向量，已知AB＝2a＋kb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，求k的值．【解】∵A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，则必存在实数λ，使AB＝λBD，而BD＝BC＋CD＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b，∴2a＋kb＝λ(2a－b)＝2λa－λb，于是⇒所以k＝－1.10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．【解】设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝(a＋b)－a＝－a＋b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需AC＝λAB，即－a＋b＝λ(tb－a)．又非零向量a，b不共线，∴∴∴当t＝时，三向量终点在同一条直线上．[能力提升]1．(2016·高陵高一检测)已知平行四边形的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，且满足BE＝EC，则AE＝()A．b－3aB．－a＋bC.a＋bD.a－b【解析】如图所示，因为四边形ABCD为平行四边形，所以OC＝－OA＝－a，所以BC＝OC－OB＝－a－b，因为BE＝EC，所以BE＝BC＝－(a＋b)．又因为AB＝OB－OA＝b－a，所以AE＝AB＋BE＝b－a－(a＋b)＝－a＋b.【答案】B2．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0【解析】(1)当e1∥e2时，a＝e1＋λe2，不妨设e1＝μe2，μ∈R，所以a＝(λ＋μ)e2，b＝2μe2，故a与b共线．(2)当e1与e2不共线时，设a＝μb，μ∈R，则e1＋λe2＝2μe1，即(1－2μ)e1＋λe2＝0，所以即所以a与b共线的条件λ＝0.综上知a与b共线的条件是e1∥e2或λ＝0.【答案】D3．如图2－3－5，设P为△ABC内一点，且AP＝AB＋AC，BM＝BA，CN＝CA，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于________.【导学号：66470047】图2－3－5【解析】由题可知，AM＝AB，AN＝AC，则AP＝AM＋AN，由平行四边形法则，可知NP∥AB，所以＝·＝×＝.【答案】4．如图2－3－6所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.图2－3－6【证明】∵点P在直线AB上，∴AP∥AB，设AP＝xAB，∵AP＝OP－OA，AB＝OB－OA，∴OP－OA＝x(OB－OA)，∴OP＝(1－x)OA＋xOB.又OP＝λOA＋μOB，∴λ＝1－x，μ＝x，∴λ＋μ＝1.
