3.1数乘向量课后拔高提能练一、选择题1．如图，向量OA，OB，OC的终点在同一直线上，且AC＝－3CB，设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则下列等式中成立的是()A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p解析：选A∵AC＝－3CB，∴AB＝－2CB＝2BC，∴r＝OC＝OA＋AB＋BC＝－p＋q.2．在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝()A．a＋bB．a＋bC．a＋bD．a＋b解析：选B如图．∵△DEF∽△BEA，∴＝＝.∴DF＝AB＝DC.∴CF＝DC.∴AF＝AC＋CF＝a＋CD＝a＋(CO＋OD)＝a＋－a＋b＝a＋b.3．下列命题中真命题是()①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使a＝λb；②a∥b⇔存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0；③a与b不共线⇔若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0；④a与b不共线⇔不存在实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④解析：选B①中当a为零向量时，λ不唯一，所以①为假命题；②，③是真命题；④中当λ1＝λ2＝0时，λ1a＋λ2b＝0成立，所以④是假命题．4．若AB＝3e1，CD＝－5e1，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．等腰梯形C．菱形D．不等腰的梯形解析：选B∵AB＝3e1，CD＝－5e1，∴AB＝－CD，∴AB∥CD，但|AB|≠|CD|.∴四边形ABCD是以AB、CD为底边的梯形．又∵|AD|＝|BC|，∴梯形的两腰相等，∴四边形ABCD是等腰梯形．二、填空题5．已知a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x＋y＝________.解析：由(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，得得∴x＋y＝9.答案：96．在△ABC中，点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM，则实数m＝________.解析：由MA＋MB＋MC＝0可知M为△ABC的重心，设D为BC的中点，则AM＝2MD，又AB＋AC＝2AD＝2(AM＋MD)＝3AM.又AB＋AC＝mAM，∴m＝3.答案：37．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足PA＋PC＝0,2QA＋QB＋QC＝BC，若|PQ|＝λ|BC|，则正实数λ＝________.解析：∵PA＋PC＝0，∴PA＝－PC＝CP，∴P是边AC的中点．又∵2QA＋QB＋QC＝BC，∴2QA＝BC－QB－QC＝BC＋CQ＋BQ＝2BQ，∴QA＝BQ，∴Q为边AB的中点，∴PQ是△ABC的中位线，∴|PQ|＝|BC|，∴λ＝.答案：三、解答题8.如图所示，四边形OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用向量a，b表示OM，ON，MN.解：∵BA＝OA－OB＝a－b，又BM＝BC＝BA，∴BM＝(a－b)，∴OM＝OB＋BM＝b＋(a－b)＝a＋b，又在▱OADB中，OD＝a＋b，CN＝CD，∴ON＝OD，∴ON＝(a＋b)，在△OMN中，MN＝ON－OM＝(a＋b)－＝a－b.9．两个非零向量a、b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．解：(1)证明：∵AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋2a＋8b＋3(a－b)＝6a＋6b＝6AB，∴AD与AB共线，又有公共点A，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)，∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0.∵a与b不共线，∴解得k＝±.∴k＝±时，使ka＋b与2a＋kb共线．
