3.1数乘向量课时跟踪检测一、选择题1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)，与向量n＝e2－2e1共线，则()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝解析：分析选项知，当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝e2－2e1＝2＝2m，∴m与n共线．答案：D2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是()A．e＝B．a＝|a|eC．a＝－|a|eD．a＝±|a|e解析：对于A，a＝0时，无意义，A错．当a＝0时，B、C、D都对；当a≠0时，a与e同向或反向，且±|a|e＝a，故B、C不全面．答案：D3．如图所示，向量OA，OB，OC的终点在同一直线上，且AC＝－3CB，设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则下列等式中成立的是()A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p解析：解法一：∵AC＝－3CB，∴AB＝－2CB＝2BC＝2(OC－OB)＝2(r－q)，∴r＝OC＝OA＋AB＋BC＝OA＋3BC＝p＋3r－3q，∴r＝－p＋q.解法二：r＝OC＝OB＋BC＝q＋AB＝q＋(q－p)＝q－p.答案：A4．设向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．B，C，DB．A，B，CC．A，B，DD．A，C，D解析：由已知，得BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，∴BD∥AB，∴A，B，D三点共线．答案：C5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB＋sAC，则r－s＝()A．0B．C．D．3解析：如图，∵CD＝CB＋BD＝4BD，∴CB＝3BD.∴CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC＝AB＋CB－AC＝AB＋(AB－AC)－AC＝AB－AC.又∵CD＝rAB＋sAC，∴r＝，s＝－，∴r－s＝－＝.答案：C6．已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是()①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b.A．①②④B．①③C．②③④D．③④解析：①中，由2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e，得a＝－e，b＝－e，∴a与b共线；②中，λ，μ不同时为0，则λa＋μb＝0⇒a与b共线；③中x＋y＝0，若x＝y＝0时，则a与b不一定共线；④中a与b显然共线．答案：A二、填空题7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于________．解析：由AD＝2DB得，CD－CA＝2(CB－CD)，∴CD＝CA＋CB，∴λ＝.答案：8．若2－(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________.解析：据向量的加法、减法及数乘运算可得x＝a－b＋c.答案：a－b＋c9．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且DC＝3DE，BC＝3BF，若AC＝mAE＋nAF，其中m，n∈R，则m＋n＝________.解析：AC＝AB＋AD，又mAE＋nAF＝m＋n＝AB＋AD.∴故(m＋n)＝2，即m＋n＝.答案：三、解答题10．有两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问：是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？解：d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.要使d∥c，则存在实数k使d＝kc，∴(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2，∴∴λ＝－2μ.∴存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d∥c.11．已知在平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA－3OB＋2OC＝0，求.解：解法一：由题意得，3OB＝OA＋2OC，OB＝OA＋OC，所以OA＋AB＝OB＝OA＋OC.所以AB＝(OC－OA)＝AC.所以AB与AC共线．所以＝＝2.解法二：由题意得，(OA－OB)＋2(OC－OB)＝0，∴BA＋2BC＝0，∴2BC＝AB，∴＝2.12．设M是▱ABCD的边AB的中点，且DM与AC相交于H，求证：AC＝3AH.证明：∵AH与AC共线，∴设AC＝λAH，同理，设DM＝μHM.∵AH＋HM＋MA＝0，∴AC＋DM－AB＝0，(AB＋AD)＋－AB＝0，AB＋AD＝0.又∵AB与AD不共线，∴解得λ＝3.∴AC＝3AH.13．过△ABC的重心G任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若AD＝xAB，AE＝yAC，且xy≠0，试求＋的值．解：如图，设AB＝a，AC＝b，则AG＝AM＝＝(a＋b)．∴GD＝AD－AG＝a－b，ED＝AD－AE＝xa－yb.∵GD与ED共线，∴GD＝λED，∴a－b＝xλa－yλb，∴消去λ得＝，即＋＝3.
