高中数学 第1章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用课堂导学 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

高中数学第1章三角函数1.3.4三角函数的应用课堂导学苏教版必修4三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题【例1】设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的对应数据.t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A.y=12+3sint,t∈［0,24］B.y=12+3sin(t+π),t∈［0,24］C.y=12+3sint,t∈［0,24］D.y=12+3sin(t+),t∈［0,24］思路分析：考查函数y=Asin(ωx+φ)在实际问题中的近似估计.解析：在给定的四个选项A、B、C、D中我们不妨代入t=0及t=3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.答案：A温馨提示函数的模型只能近似刻画某个时段的水深变化情况，通常我们都要结合实验数据通过代入检验来不断改进函数模型.2.从实际问题中抽象出三角函数模型【例2】如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.思路分析：本题考查知图求式问题.利用图象给出的条件，利用待定系数法求A、ω、φ.解：（1）由题图所示这段时间的最大温差是30-10=20℃.(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，∴·=14-6,解得ω=.由图得A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.于是y=10sin(x+φ)+20，将x=6,y=10代入得sin(+φ)=-1,由“五点法”作图原理知+φ=.∴φ=.综上，所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈［6,14］.温馨提示（1）一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应特别注意自变量的取值范围.（2）利用图象研究函数的性质，观察分析函数的图象，易求单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.3.将实际问题数学化【例3】已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.（1）根据以上数据，求出函数y=Acostx+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？思路分析：从表中得到要用的数据，A、T、w解：（1）由表中数据，知周期T=12.∴ω===.由t=0,y=1.5,得A+b=1.5①由t=3,y=1.0,得b=1.0②∴A=0.5,b=1,∴振幅为,∴y=cost+1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放∴cost+1＞1,∴cost＞0.∴2kπ-＜t＜2kπ+,即12k-3＜t＜12k+3③ 0≤t≤24,故可令③中k分别为0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00.温馨提示利用数学模型解决实际问题时，往往会忽略实际问题本身存在的条件，应引起注意.各个击破类题演练1如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s=6sin(2πt+)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（）A.2πsB.πsC.0.5sD.1s思路分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式，单摆来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期.解：由分析，因为ω=2π,所以T==1.答案：D变式提升1某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.（1）画出种群数量关于时间变化的图象；（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.解：(1)种群数量关于时间变化的图象如图（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+α)+b.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A==100,ω==,b=800,又7月1日为种群数量达最高，∴×6+α=.∴α=-.则种群数量关于时间t的函数表达式为y=800+100sin(t-3).类题演练2一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球.小球来回摆动时，离开平衡...