高中数学 3.1.3两角和与差的正切练习（含解析）苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

3．1.3两角和与差的正切你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从C(α±β)、S(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)、tan(α－β)的公式吗？1．公式T(α－β)是_________________________________________．它成立的条件是________________________________________．答案：tan(α－β)＝α－β≠kπ＋，α≠kπ＋，β≠kπ＋(k∈Z)2．公式T(α＋β)是_________________________________________．它成立的条件是________________________________________．答案：tan(α＋β)＝α＋β≠kπ＋，α≠kπ＋，β≠kπ＋(k∈Z)3．tan＝________，tan＝________．答案：4．若A＋B＋C＝π且A≠kπ＋，B≠kπ＋，C≠kπ＋(k∈Z)，则tanA＋tanB＋tanC＝________．答案：tanAtanBtanC5．tan165°＝________．－2＋6．若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)＝______．答案：47．tan20°＋tan40°＋tan20°·tan40°＝________．解析：∵tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＝－·tan20°·tan40°.∴原式＝－tan20°·tan40°＋tan20°·tan40°＝.答案：1两角和与差的正切公式S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)这三个公式都叫做和角公式，类似地，S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式．这六个公式的逻辑联系可用框图形式表示如下：当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T(α±β)来处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方式，如化简tan，因为tan的值不存在，不能利用公式T(α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则tan＝＝＝－.两角和与差的正切公式的变用1．两角和与差的正切公式的常见变形有：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)tanα·tanβ＝1－.(3)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．(4)tanαtanβ＝－1.2．利用相关公式，可进行两角正切的和、差与积的转化，这是三角变换中的一个重要技巧．1．若A、B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值()A．不大于1B．小于1C．等于1D．大于1解析：∵1.答案：D2．若tanα＝2，则tan＝________．解析：∵tanα＝2，∴tan＝＝＝－3.答案：－33．已知tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)的值是________．解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[(α－β)＋α]＝－＝－＝－＝－.答案：－24．已知tanα＝(1＋m)，(tanαtanβ＋m)＋tanβ＝0，且α、β都是锐角，则α＋β＝________．解析：tanα·tanβ＝＝－m－tanβ.tan(α＋β)＝＝＝，又∵α、β为锐角，∴α＋β＝.答案：5．求值：tan18°＋tan42°＋tan18°tan42°.解析：由tan(42°＋18°)＝tan60°＝，得tan42°＋tan18°＝tan60°(1－tan42°tan18°)，即tan42°＋tan18°＝－tan18°tan42°.代入原式，得tan18°＋tan42°＋tan18°tan42°＝.6．若tan(α＋β)＝，则tan＝，则tan＝()A.B.C.D.解析：tan＝tan＝＝＝.故选C.答案：C7．(tan10°－)·＝________．解析：(tan10°－)＝(tan10°－tan60°)＝＝·＝－＝－2.答案：－28．已知tanα、tanβ是关于x的方程x2－4px－3＝0(p∈R)的两个实数根，且α＋β≠kπ＋(k∈Z)，求cos2(α＋β)＋psin(α＋β)·cos(α＋β)的值．解析：∵tanα、tanβ是方程x2－4px－3＝0的两实根，∴根据韦达定理得tanα＋tanβ＝4p，tanα·tanβ＝－3.∴tan(α＋β)＝＝＝p.∴cos2(α＋β)＋psin(α＋β)·cos(α＋β)＝＝＝＝1.9．在△ABC中，已知角A，B，C成等差数列，求tan＋3tan＋tantan的值．解析：在△ABC中，角A，B，C成等差数列，则B＝60°，A＋C＝120°，于是tan＋tan＋tantan＝tan＋tantan＝tan60°＋tantan＝.10．求tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°的值．解析：原式＝tan30°(tan20°＋tan40°)＋tan40°tan20°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＋tan40°tan20°＝×(1－tan20°tan40°)＋tan40°tan20°＝1.11．已知A＋B＝45°，求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2(A，B≠k·180°＋90°，k∈Z)，并应用此结论求(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)的值．证明：∵A＋B＝45°，且A、B≠k·180°＋90°，k∈Z，∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1＝2.∴(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝2，(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2.∴(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)＝222.4