高中数学 25 两角和与差的三角函数习题课练习（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

25两角和与差的三角函数习题课时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知α为任意角，则下列等式①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ③cos(＋α)＝－sinα④tan(－α)＝cotα⑤tan(α－β)＝其中恒成立的等式有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案：B解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan(－0)无意义，当α＝β＋时，⑤式中的tan(α－β)无意义．2．函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是()A.B．πC．2πD．4π答案：B解析：∵y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin，∴周期T＝π.3．若sinα＋cosα＝－，则cos(－α)等于()A.B.C．－D．－答案：C解析：sinα＋cosα＝2sin(α＋)＝－.cos(－α)＝cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝－.4．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是()A.B.C.或D.或答案：A解析：因为α∈，所以2α∈.又sin2α＝，故2α∈，所以α∈，所以cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，且α＋β∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，故α＋β＝.5．已知sin＝sinα＝－，－<α<0，则cos等于()A．－B．－C.D.答案：D解析：因为sin＋sinα＝－，所以sin＋sin＝－，所以sin＋sincos－cossin＝－，所以sin－cos＝－，所以－＝－，－cos＝－，cos＝，所以cos＝cos＝，故选D.6．在△ABC中，若tanC＝，且sinAcosB＝cos(－B)sinB，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等腰但非直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案：D解析：由tanC＝可知，C＝.所以A＋B＝，故cos＝cosA.由条件可知，sin(A－B)＝0，又因为角A、B是三角形的内角，可得A＝B，故三角形为等边三角形．二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)＝__________.答案：0解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－cos120°cosx－sin120°sinx＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0.8．函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为________．答案：[－5,1]解析：y＝2sin2x＋2cos2x－3＝4sin－3.又x∈，所以2x＋∈，sin∈，所以－2≤4sin≤4，所以－5≤4sin－3≤1.所以函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为[－5,1]．9．已知tan2α＝，tan(β－α)＝，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为________．答案：－解析：依题意，知tanα＝，tan(β－α)＝，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝－－.解析：因为tanα＝2，所以左边＝＝＝＝，右边＝－－＝－－＝－－tan＝－－tan＝，所以左边＝右边，所以原等式成立．11．已知函数f(x)＝sin－cos，x∈R.(1)求f的值；(2)若α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．解析：(1)∵f(x)＝sin－cos，x∈R，∴f(x)＝2sin，x∈R.f＝2sin＝2sin＝.(2)f＝2sinα＝，∴sinα＝，∵α∈，∴cosα＝.f(3β＋2π)＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝，∵β∈，∴sinβ＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.12．已知sinαcosβ＝，求sinβcosα的取值范围．解析：sin(β＋α)＝sinβcosα＋cosβsinα＝sinβcosα＋，sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝sinβcosα－.因为－1≤sin(β±α)≤1所以所以－≤sinβcosα≤.即当α＋β＝2kπ＋(k∈Z)时，cosα，sinβ同号，右边等号成立；当β－α＝2kπ－(k∈Z)时，cosα，sinβ异号，左边等号成立．