高一数学平面向量数量积及运算律、坐标表示与图形平移通用版VIP专享VIP免费

高一数学平面向量数量积及运算律、坐标表示与图形平移通用版【本讲主要内容】平面向量数量积及运算律、坐标表示与图形平移【知识掌握】【知识点精析】1.数量积的概念向量的夹角如图所示，已知两个非零向量a和b，作OAaOBb，，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ。数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。2.数量积的重要性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，根据定义可推得如下性质。（1）e·a=a·e=acosθ（2）当a与b同向时，a·b＝|a||b|当a与b反向时，a·b=－|a||b|特别地，·，或·aaaaaa||||2（3）当a⊥b时，a·b=0；反之也成立，即abab·0（4）cos||||abab·（向量夹角的公式）（5）||||||abab·3.向量数量积的运算律交换律abba··与实数相乘的结合律()()ababab···分配律()abcacbc···注意：向量的数量积不满足结合律。4.向量数量积的坐标表示设axybxy()()1122，，，用心爱心专心数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和，即abxxyy·1212向量模公式||axy1212两点间距离公式若AxyBxyABxxyy()()()()1122122122，，，，则向量的夹角公式cosxxyyxyxy121212122222·5.向量垂直的充要条件设a与b均是非零向量。向量式abab·0坐标式abxxyy121206.图形的平移定义设F是坐标平面内一个图形，将F上所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，这一过程叫做图形的平移。点的平移变换公式点P（x，y）按向量ahk()，平移到pxyxxhyyk'('')''，，则，其中（h，k）叫做平移向量【解题方法指导】1.数量积公式的应用例1.已知ee12与是夹角为60°的单位向量，且aeebee2321212，，求ab·及a与b的夹角α。分析：由于与均为单位向量，且夹角已知，故可求得与的数量积，进而可求得，再利用模的公式求与，代入夹角余弦公式，可求a与b的夹角α解： 均为单位向量，且夹角为∴abeeeeeeeeeeee····()()||||232626261223121212121222121222用心爱心专心而··||()||||aaeeeeeeeeee2212212122212122224444441217||()||||bbeeeeeeeeee2212212122212122232912491249647··||||ab77，于是cos||||abab·3127712ab·，°3121202.平面向量数量积坐标表示及应用例2.平面内三点A、B、C在一条直线上，OAmOBn()()21，，，，OC()51，，且OAOB，求实数m，n的值。分析：因为A、B、C三点共线，可由向量共线的充分条件得到关于m，n的一个关系式；又因为向量OAOB，再由向量垂直的充要条件，得到关于m，n的第二个关系式。对这两个关系式联立求解即可。解：ABC、、三点在一条直线上向量与共线于是，存在实数，使又，，，，，，，，，，ACABACABOAmOBnOCACOCOAmABOBOAnmmnm()()()()()()()215171217121故有7211()()nmm二式相除，消去，得：7121mnmmnmn590（1）又OAOBOAOB，·0即()21020nmmn，（2）由（2）得mn2，代入（1），得：用心爱心专心29902nn解得nn332，相应的mm63，mnmn63332，或，说明：上面解法中，式（1）可由向量共线的坐标表达式求得，因为ACm()71，，ABnmACAB()21，，与共线，所以71210()()()mnm，同样可以得到mnmn590。例3.平面内有向量OAOBOP()()()175121，，，，，，点X为直线OP上的一个动点。（1）当XAXB·取最小值时，求OX的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值。分析：因为点X在直线OP上，向量OX与OP共线，...