高一数学向量的坐标表示及向量的数量积苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：向量的坐标表示及向量的数量积二、本周教学目标（1）理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线；（2）理解平面向量的数量积的定义及平面向量数量积的重要性质及运算律；并能运用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；（3）掌握平面向量数量积的坐标表示；能用所学知识解决有关综合问题。三、本周知识要点1、平面向量的坐标表示如图，一般地，对于向量当它起点移至原点O时，其终点的坐标（x，y）称为向量的直角坐标，记作…………②其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示。与相等的向量的坐标也为。特别地，，，。在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………①2、平面向量的坐标运算（1）若，，则，。两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。（2）若，，则用心爱心专心一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。（3）若和实数，则。实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。3、向量平行的坐标表示设向量，，如果，那么；反过来，如果，那么。从而向量共线的条件有两种形式：∥（）4、向量的数量积（1）两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则∠AOB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角。说明：①当θ＝０时，与同向；②当θ＝π时，与反向；③当θ＝时，与垂直，记⊥；④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。（2）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有＝||||cos，（０≤θ≤π）。并规定与任何向量的数量积为0。说明：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。③在实数中，若a0，且ab＝0，则b＝0；但是在数量积中，若，且＝0，不能用心爱心专心推出＝。因为其中cos有可能为0。④已知实数a、b、c（b0），则ab＝bca＝c。但是＝＝如下图：＝||||cos＝|||OA|，＝||||cos＝|||OA|＝但⑤在实数中，有（ab）c＝a（bc），但是（）（）显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线。（3）平面向量数量积的运算律交换律：＝数乘结合律：（）＝（）＝（）分配律：（＋）＝＋（4）两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量1＝02当与同向时，＝||||；当与反向时，＝||||。特别的＝||2或3cos＝4||≤||||5、平面向量数量积的坐标表示用心爱心专心已知两个非零向量，，试用和的坐标表示。设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即1）平面内两点间的距离公式（1）设，则或。（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）2）向量垂直的判定设，，则3）两向量夹角的余弦（）cos＝222221212121yxyxyyxx【典型例题】例1.已知三个力＝（3，4），＝（2，5），＝（x，y）的合力＋＋＝，求的坐标。解：由题设＋＋＝得：（3，4）＋（2，5）＋（x，y）＝（0，0）即：∴∴＝（5，1）例2.若向量＝（－1，x）与＝（－x，2）共线且方向相同，求x。解： ＝（－1，x）与＝（－x，2）共线∴（－1）×2－x•（－x）＝0∴x＝± 与方向相同∴x＝用心爱心专心例3.已知A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解： ＝（1－（－1），3－（－1））＝（2，4），＝（2－1，7－5）＝（1，2）又 2...
