大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。1、已知球面的一条直径的两个端点为(2，−3，5)和(4，1，−3)，则该球面的方程为______________________2、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为3、曲面与平面平行的切平面方程为4、5、设二元函数z=xy2+x3y，则∂2z∂x∂y=_______________二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。1、旋转曲面x2−y2−z2=1是（）（A）．xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成；（B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成；（C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成；（D）．xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成．2、微分方程y''+y=2xcosx+3x2的一个特解应具有形式（）其中a1,b1,a2,b2,d1,d2,d3都是待定常数.(A).x(a1x+b1)cosx+x(a2x+b2)sinx+d1x2;(B).x(a1x+b1)cosx+x(a2x+b2)sinx+d1x2+d2x+d3;(C).x(a1x+b1)(a2cosx+b2sinx)+d1x2+d2x+d3;(D).x(a1x+b1)(cosx+sinx)+d1x2+d2x+d33、已知直线L:x−2√2=y+12=z−√2π与平面π:x+√2y−πz=4,则（）(A).L在π内;(B).L与π不相交;(C).L与π正交;(D).L与π斜交.4、下列说法正确的是（）(A)两向量与平行的充要条件是存在唯一的实数，使得；(B)二元函数z=f(x,y)的两个二阶偏导数∂2z∂x2,∂2z∂y2在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C)二元函数z=f(x,y)的两个偏导数在点(x0,y0)处连续是函数在该点可微的充分条件；(D)二元函数z=f(x,y)的两个偏导数在点(x0,y0)处连续是函数在该点可微的必要条件.5、设z=f(2x+y,x−2y),且f∈C2（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则∂2z∂x∂y=（）(A)2f11−2f22−3f12;(B)2f11+f22+3f12;(C)2f11+f22+5f12;(D)2f11−2f22−f12.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。(1)（6分）y'=1+x+y2+xy2(2)（7分）y''−3y'+2y=xe2x2、（本题8分）设z=uv2+tcosu，u=et，v=lnt，求全导数dzdt。3、（本题8分）求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值。四、应用题（本题8分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为c(x,y)=x2+2y2−xy（万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？五、综合题（本大题共21分）1、（本题10分）已知直线l1：{yb+zc=1x=0，l2：{xa−zc=1y=0，求过l1且平行于l2的平面方程．2、（本题11分）设函数在球面上求一点，使函数取到最大值．六、证明题（本题共12分）1、设函数u=xkF(zx,yx)，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试证明:x∂u∂x+y∂u∂y+z∂u∂z=kxkF(zx,yx)第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1.、(x−3)2+(y+1)2+(z−1)2=212、．3、．4、05、2y+3x2；二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）三、计算题（本大题共29分）1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：dy1+y2=(1+x)dx上式两端积分得∫dy1+y2=arctany=∫(1+x)dx=x+x22+c即：arctany=x+x22+c其中c为任意常数．（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r2−3r+2=0,特征根为r1=1,r2=2,于是，该齐次方程的通解为Y=C1x+C2e2x,因λ=2是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：y¿=x(b0x+b1)e2x.代入题设方程,得2b0x+b1+2b0=x,比较等式两端同次幂的系数,得b0=12,b1=−1,于是，求得题没方程的一个特解y¿=x(12x−1)e2x.从而，所求题设方程的通解为y=C1ex+C2e2x+x(12x−1)e2x.2、解：∂z∂u=∂∂u(uv2+tcosu)=v2−tsinu，∂z∂v=∂∂v(uv2+tcosu)=2uv，∂z∂t=cosu依复合函数求导法则，全导数为dzdt=∂z∂u⋅dudt+∂z∂v⋅dvdt+∂z∂t⋅dtdt=(v2−tsinu)et+2uv⋅1t+cosu⋅1=(ln2t−tsinet)et+2tetlnt+coset3、解：解方程组{fx(x,y)=e2x(2x+2y2+4y+1)=0¿¿¿¿，得驻点(12,−1)。由于A=fxx(x,y)=4e2x(x+y2+2y+1)，B=fxy(xy)=4e2x(y+1)，C=fyy(x,y)=2e2x在点(12,−1)处，A=2e>0，B=0，C=2e，AC−B...
