课堂教学中数学文化的渗透－“数系的扩充”教学案例卢玉才江苏省沙溪高级中学课堂教学中数学文化的渗透－“数系的扩充”教学案例卢玉才（江苏省太仓沙溪高级中学215400）1.基本情况1.1授课对象学生来自四星级普通高中普通班，基础不错，在高中阶段已经度过一年半，已经具备一定自主学习能力和思维水平，班级中有一定数量的孩子思维比较活跃．1.2教材分析数系的扩充是选修1－2和选修2－2的内容，扩充的过程体现了数学发现和创造的过程．根据课标要求，学生需要在问题情景中了解数系扩充的过程，体会实际需要与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．本节课的教学目标从知识、方法、能力这三个层面确定为：（1）经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求．（2）理解复数的基本概念及复数相等的条件．（3）使学生感悟与体会数学的科学价值与文化价值，提高学生的数学素养．2.案例聚焦从众多的教学设计看，基本是通过方程在不同范围的解的状况导出实数系扩充的必要性,再通过适当的练习去巩固复数的相关概念．我们的设计聚焦于挖掘概念背后的数学文化凸显数学教育的文化价值是我们聚焦的主要问题．3.教学过程3.1知识回顾激发冲突问题1：方程是否有解？是否有解应该和的取值取值范围有关，如果的取值范围为实数集，那么该方程无解．题设中并无要求，那么是不是存在这样一个范围能使得该方程有解呢？问题2：（1）方程在自然数范围内是否有解？在整数范围是否有解？（2）方程在整数范围内是否有解？在有理数范围是否有解？（3）方程在有理数范围内是否有解？在实数范围是否有解？生：对每个问题而言，在小的范围内是没有解的，但在大的范围内是有解的．教学意图前苏联教育学家维果斯基认为，教育应该在学生的最近发展区进行，这样才能调动学生的学习积极性。学生熟悉简单方程有解无解的情况，因此我们从方程角度看数系扩充的进程，有利于学生去体会到每次数系扩充的必要性．3.2展现历实探究规律问题3：请同学阅读下面数系扩充的历史，你能否从中得到数系扩充过程必须满足的原则？数系扩充的历史数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．（1）类似于2+3=5的事实产生了加法的概念，然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数，一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法。产生零、负自然数，合称整数，得到整数集．（2）加法的重复进行产生了乘法，2×3=6就是三个2相加．然而2乘以几会等于1呢？由此需要定义倒数：一个数的“倒数”即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数，得到有理数集．（3）乘法的重复进行产生了乘方，就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用示对角线的长度，无理数的概念初步形成，从而产生了开方运算和实数集．师：在一个数系中，我们都会有相应的运算法则，如在自然数集中有加法运算，整数集中乘法运算等，从这个角度看，每次数系的扩充与运算法则的关系是怎样的？生：在给定的数系中，如果考虑原来运算的逆运算，那么在原有的数系中逆运算不一定能成立，但扩充之后，逆运算一定能够成立．师：那么原来的运算法则在新的数系中还能进行吗？生：可以的．师：通过刚才的讨论，数系在扩充的过程要3个原则：（1）引入新的数；（2）原运算在新的数系中得以保持；（3）新运算（逆运算）在新的数系中得以成立．为了使得得以成立，我们需要对原来的实数系扩充．教学意图新课标要求学生能从数学文化的学习中了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律．该问题以数学的发展历史为背景，力求让学生体会每次数系扩充的必要性，即每次数系的扩充都是在为了解决原来数系中无法解决的问题而产生的．另外，也要体会到新数系包含了原来的数系，在新数系中原有的运算仍然适用，同时解决了某些运算在原来数系中不可实施的矛盾．3.3新数构建为了使得得以成...
