2.直线与圆的位置关系（四）24.2与圆有关的位置关系我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．过圆外一点P能否作圆的切线？如果能，能作几条？如何作？（一）问题探究过一点作圆的切线，能作几条？合作探究:试一试PO已知⊙O和圆外一点P，探究过点P如何作出⊙O的切线?BA如图，P为⊙O外一点，连OP；以OP为直径作⊙C，⊙C和⊙O相交于两点A，B；作直线PA，PB，直线PA，PB就是所求的切线．C（二）建立概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．OBAP（三）探索结论若从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。利用切线的性质得∠PAO＝∠PBO＝90°，易证RtAPORtPBO△≌△，得到PA＝PB，∠1＝∠2，21OBAP用文字语言叙述你发现的结论：21OBAP切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．定理的几何符号表达： PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA＝PB，∠1＝∠2反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。（四）研究图形下面我们对切线长定理的基本图形作进一步的研究。如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，直线OP交⊙O于D、E，交弦AB于C，87654321DOPECBA(1)写出图中所有的相等关系;(2)写出图中所有的垂直关系；(3)写出图中所有的全等三角形．87654321DOPECBA由以上探索可知：切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系等等提供了新的依据，必须掌握并灵活应用。(1)相等关系：PA=PB，AC=BC，OA=OB，AD=BD，∠1=2=3=4∠∠∠，∠5=6∠＝∠7＝∠8，弧AD＝弧BD，弧AE＝弧BE，(2)垂直关系：OAAP⊥，OBBP⊥，OPAB⊥．(3)全等三角形：△PACPBC≌△，△ACOBCO≌△，△PAOPBO≌△．例1圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H（1）图中有哪些相等的线段（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等。（五）定理应用练习：四边形ABCD外切于⊙O（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4则n=____（2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48，则最长的边为_____·ABCDO516例2如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A、B，在弧AB上任取一点C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，QOEDCBAP（1）若PA=2，则△PDE的周长为；若PA=a，则△PDE的周长为____。42a例2如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A、B，在弧AB上任取一点C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，QOEDCBAP（2）连结OD、OE，Q为优弧AB上任一点，若∠P=40°，则∠DOE=_____，∠Q＝____；若∠P=α，∠DOE=_______，∠Q＝______。70°70°902902变式练习如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，若C为弧AB上一动点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，Q为优弧AB上任一点，求证：①△PDE的周长为定值，并求出定值；②∠DOE的度数为定值，并求出定值，③你发现∠DOE和∠Q有怎样的关系，并证明你的结论。QOEDCBAP例3如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD分别切⊙O于A、B、E，若BC=9，AD=4，求OE的长。方法1：连接OD，OC，利用切线长定理，OD平分∠ADC，OC平分∠BCD，易得DO⊥CO，根据Rt△ADO，Rt△DEO，Rt△CEO，利用勾股定理建立关于r的方程：222224949rr得r＝6。FEDCBAO在Rt△DCF中，由勾股定理得方程：2222513r，得r=6。方法2：作DF⊥BC于F，易证四边形ABFD为矩形，AD＝BF＝4，DF＝AB，设OE＝OA＝OB＝r，则CF＝BC－BF＝5，DF＝AB＝2r，CD＝CE＋DE＝BC＋AD＝13，变式练习一如图，⊙O的直径AB=12cm，AD、BC、CD分别切⊙O于A、B、E，设AD=x，BC=y．求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？答案：，是反比例函数。36yx变式练习二已知O是正方形ABCD一边BC的中点，AP与以O为圆心，OB为半径的圆切于T点，求AT：TP的值。TPODCBA，求得x：y＝4：1。基于本题有正方形这一条件，还可这样解决：如图，...
