图形面积问题VIP专享VIP免费

2.5一元二次方程的应用第2章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时图形面积问题学习目标1.掌握列一元二次方程解图形问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；（重点、难点）2.学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题．一、导入新课问题：如图，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.解：设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm.根据题意，可以列出方程(40-2x)(28-2x)=364．解得x1=27，x2=7．原方程可以写成x2-34x+189=0.这里a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(17×17-189)=4×(289-189)=400，如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm.因此x1=27不合题意，应当舍去．即所截去的小正方形的边长为7cm,二、合作探究利用一元二次方程解决图形问题一通过前面的探讨学习，我们再来看看下面的例题．例1如图2-4，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.分析:虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算.分析若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了问题中涉及的等量关系是什么？问题中涉及的等量关系是什么？矩形面积=矩形的长×矩形的宽若设道路宽为xm，则新矩形的长为(32-x)m，宽为(20-x)m，根据等量关系你能列出方程吗？(32-x)(20-x)=540整理，得x²-52x+100=0解得x=2,x=50x=50＞32不符合题意，舍去,故x=2.答：道路的宽为2米.122例2如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².92)6(21xx0962xx方法归纳•这里要特别注意：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．•列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．三、当堂练习1.在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝0B2.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？QPCBADH解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PH⊥CD，垂足为H，则PH=BC=6，PQ=10，∵DH=PA=3t，CQ=2t，∴HQ=CD-DH-CQ=|16-5t|.由勾股定理，得（16-5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．3.围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽.解：设长方形的长为x米,则宽为(140-x)m.则由题意得x(140-x)=4800，整理，得x2-140x+4800=0，即(x-60)(x-80)=0.解得x1=60,x2=80.当x=60时,140-x=80（舍去），当x=80时,140-x=60.答：公园的长为80米，宽为60米.利用一元二次方程解决图形问题四、课堂小结面积问题动点问题五、课后作业