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高中数学主干知识清单不等式知识提炼1.不等式的基本性质(1)a>b⇔bb,b>c⇒a>c(传递性);(3)a>b⇒a+c>b+c(加法单调性);(4)a>b,c>d⇒a+c>b+d(同向不等式相加);(5)a>b,cb-d(异向不等式相减);(6)a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c<0⇒acb>0,c>d>0⇒ac>bd(同向不等式相乘);(8)a>b>0,0bd(异向不等式相除);(9)a>b,ab>0⇒1a<1b(倒数关系);(10)a>b>0⇒an>bn(n∈Z,且n>1)(平方法则);(11)a>b>0⇒n√a>n√b(n∈Z,且n>1)(开方法则).2.基本不等式(1)如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2)如果a>0,b>0,那么a+b2≥√ab,当且仅当a=b时,等号成立.用基本不等式求最值时注意的三个条件:“一正,二定,三相等”.(3)极值定理:已知x>0,y>0,则有:①若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2√p;②若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最大值14s2.(4)不等式链:如果a,b都是正数,那么21a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时取等号).3.一元二次不等式的解集判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像一元二次方程ax2+b有两相异实根x1,x2(x1有两相等实根x1=x2无实根x+c=0(a>0)的根0Δ=0Δ<0ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|xx2}{x|x≠-b2a}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x10(a≠0)恒成立的条件是{a>0,Δ<0.(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是{a<0,Δ<0.4.线性规划(1)直线Ax+By+C=0将整个坐标平面分成两部分,一部分可用不等式Ax+By+C>0(或<0)表示,另一部分则可用不等式Ax+By+C<0(或>0)表示.(2)画二元一次不等式表示的平面区域,常常采用直线定界、特殊点(常取原点)定域的办法,画二元一次不等式组所表示的平面区域,就是画出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(3)线性规划是讨论目标函数在线性约束条件(即二元一次不等式组)下的最大值或最小值的问题.解决线性规划问题的一般步骤是:①画出线性约束条件所表示的平面区域(即确定可行域);②利用目标函数的平移,在可行区域内求出使目标函数达到最大值或最小值的点.复习指导1.比较大小的常用方法(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(对于分数指数幂的代数式常用此法);(3)分析法;(4)平方法;(5)利用函数的单调性.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.2.解含参数的一元二次不等式是一个难点,这类问题的解决思路一般为:若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再根据两根的大小对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行讨论;若二次项系数为参数,应先讨论二次项系数为零,及不为零时的正负情况.3.不等式的恒成立问题(1)若ax2+bx+c>0(a≠0)对任意的x∈R恒成立,只需a>0且Δ<0.(2)若ax2+bx+c<0(a≠0)对任意的x∈R恒成立,只需a<0且Δ<0.(3)根据恒成立求参数的范围一般可采用分离参数的方法.即当f(x)存在最值时,f(x)≤a恒成立⇔a≥[f(x)]max;f(x)≥a恒成立⇔a≤[f(x)]min.4.基本不等式的运用当两个正数的和一定时,其乘积有最大值;当两个正数的乘积一定时,其和有最小值.利用√ab≤a+b2(a,b∈R+)求最值是极为重要的一个考点,应把握住限制条件“一正二定三相等”,当条件不满足时要注意应用一些转化和配凑的技巧.例如:①x<0求x+1x的最值,这里可将x+1x转化为(-x)+1-x,这样就符合“一正”;②0

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