基本不等式课堂实录执教曲阜师范大学附属中学273165刘伟点评曲阜师范大学附属中学273165孟祥东（特级教师）在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.一、课堂实录教学过程1、导入新课（走进智者，挑战自我）探究：由菲尔兹奖引到在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它既标志着中国古代的数学成就，同时又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们．多媒体展示上面的会标变化成转动的风车．接着问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？设计依据：用多媒体展示菲尔兹奖奖牌，并简单介绍菲尔兹奖背景，然后引出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，在授课中渗透数学文化和数学背景，激发学生的学习兴趣，并增强学生的自豪感和爱国主义热情．2、探究新知（自学质疑，交流展示）师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）生应该先从此图案中抽象出几何图形．师同学们观察得很细致，可以抽象出哪些几何图形？生四个全等的直角三角形，两个正方形.师同学们的观察比较准确．下面我们就来详细的探究这些几何图形．［过程引导］师设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？生显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和．师一定吗？（大家齐声：不一定，有可能相等）师好！那大正方形的面积是多少？四个直角三角形的面积之和又是多少？同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明刚刚的猜想呢？（思考片刻）生每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab，正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2＞2ab．师这位同学回答得很好，表达很全面、准确．请你接着回答，这里能取到等号吗？生可以取到等号，当直角三角形是等腰直角三角形，即a=b时，等号成立师回答的非常好，也就是说我们得到的应该是a2+b2≥2ab．下面请大家思考一下，这位同学对a2+b2≥2ab证明了吗？生没有，他仍是由我们刚才的直观得到的，只是用字母表达一下而已．师回答得很好．（有的同学感到迷惑不解）师这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明．（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab．设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华．（思考片刻）生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2， (a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab．师同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生正确.［教师精讲］师这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样．生实质一样，只是设问的形式...
