专题04立体几何1．（2017全国1文）如图，在四棱锥PABCD−中，AB//CD，且．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥PABCD−的体积为，求该四棱锥的侧面积．（2）在平面内作，垂足为．由（1）知，平面，故，可得平面．设，则由已知可得，．故四棱锥的体积．由题设得，故．从而，，．可得四棱锥的侧面积为．【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．2．（2017全国3文）如图，四面体ABCD中，是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．（2）连接EO.由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.在中，.又AB=BD，所以，故∠DOB=90°.由题设知为直角三角形，所以.又是正三角形，且AB=BD，所以.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.【考点】线面垂直的判定及性质定理，锥体的体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3．如图，在三棱锥中，平面，.（1）求三棱锥的体积；（2）求证：在线段上存在点，使得，并求的值.（2）过点作交于点，过点作交于点，连接，如图所示.因为面，所以面.又面，得.又，所以面.又面，所以.此时点即为所找点，在中，由题意可得，所以.由，可得，所以，所以.4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.(1)求证：CF∥平面AB1E；(2)点C到平面AB1E上的距离．∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，∴BB1⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵BB1∩BC＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，∴VA－EB1C＝S△EB1C·AC＝×(×1×1)×1＝.∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝，∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴点C到平面AB1E上的距离为＝.5．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图(2)所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．(3)直线A1B与直线CD不能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF，又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，因为A1B⊥DM，CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．6．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）求三棱锥体积的最大值；（3）若，点在线段上，求的最小值．OEBCDAP又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．（3）解法一：在中，，，所以．同理，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当共线时，取得最小值．又因为，，所以垂直平分，即为中点．从而，即的最小值为．解法二：由解法一可知，，，所以当为的中点时，与同时取得最小值.故.所以的最小值为.
