专题03导数及其应用易错点1不能正确识别图象与平均变化率的关系A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有A．两机关单位节能效果一样好B．A机关单位比B机关单位节能效果好C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【参考答案】B1．平均变化率函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.1．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，，则三者的大小关系为A．B．C．D．【答案】C【解析】 ，由图象易知，∴，故选C.易错点2求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为A．B．C．或D．或【错解】设，由定义得f′(2)=12，∴所求切线方程为，即.【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.【参考答案】D1．导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.2．曲线的切线的求法若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点是切点时，切线方程为；（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程．2．已知曲线，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，则切线的方程为.【答案】故切线方程为.在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【参考答案】（1）；（2）.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．函数在处的切线方程为A．B．C．D．或【答案】B【解析】 ，∴，又x=1时，y=2，∴切线方程为，即.（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数与指数函数的导数公式，与的导数，与的导数及积与商的导数公式记混弄错．（2）本题中是指数函数，而不是幂函数，常将幂函数与指数函数且的导数公式记混而导致错误．易错点4审题不细致误设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．【错解】（1） ，∴，∴.∴，令，得或，令，得，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分．（2）若在定义域上是增...
