课时作业(十九)简单的三角恒等变换A级1．如果α∈，且sinα＝，那么sin＋cos＝()A.B．－C.D．－2．(2012·山东卷)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝()A.B.C.D.3．已知tan＝，且－<α<0，则等于()A．－B．－C．－D.4．(2013·中山模拟)已知角A为△ABC的内角，且sin2A＝－，则sinA－cosA＝()A.B．－C．－D.5．定义运算＝，0<β<α<，则β等于()A.B.C.D.6．化简·＝________.7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.8．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.9．化简＝________.10．已知tan＝，求的值．11．求证：tanα＋＝.B级1．已知实数a，b均不为0，＝tanβ，且β－α＝，则等于()A.B.1C．－D．－2．计算：＝________.3．设函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f＝－，且C为锐角，求sinA.答案：课时作业(十九)A级1．D∵sinα＝，＜α＜π，∴cosα＝－，而sin＋cos＝sin＝cosα＝－.2．D∵θ∈，∴2θ∈.∴cos2θ＝－＝－，∴sinθ＝＝.3．A由tan＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.4．A∵A为△ABC的内角且sin2A＝2sinAcosA＝－<0，∴sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0.又(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝.∴sinA－cosA＝.5．D依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，故β＝，选D.6．解析：原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝.答案：7．解析：根据已知条件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ>0，∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.答案：18．解析：由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.2答案：9．解析：原式＝＝＝＝tanθ.答案：tanθ10．解析：∵tan＝，∴tanα＝＝＝.∴＝＝＝＝.11．证明：左边＝＋＝＝＝＝＝＝右边．∴原式得证．B级1．B由β－α＝得β＝α＋，∴tanβ＝tan＝＝＝与已知比较可设a＝3t，b＝t，t≠0，故＝，选B.2．解析：＝＝＝.答案：3．解析：(1)f(x)＝cos2xcos－sin2xsin＋＝cos2x－sin2x＋－cos2x＝－sin2x.所以，当2x＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)max＝.(2)由f＝－，即－sinC＝－，解得sinC＝，又C为锐角，所以C＝.由cosB＝求得sinB＝.因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.34
