一、选择题1．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对2．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．83．(2011·深圳模拟)已知椭圆＋＝1的左焦点F1，右顶点A，上顶点B且∠F1BA＝90°，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.4．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝15．(2011·郑州模拟)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且|PF1|＝t|PF2|，则t的值为()A．3B．4C．5D．7二、填空题6．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为________．7．(2011·广州模拟)在△ABC中，|AB|＝|AC|＝2顶点A、B在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，顶点C为椭圆的左焦点，线段AB过椭圆的右焦点F且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为________．8．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．三、解答题9.图8－6－2如图8－6－2，在△AFB中，∠AFB＝150°，S△AFB＝2－，求以F为一个焦点，A，B分别为长、短轴的一个端点的椭圆方程．10．已知椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，(1)若以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，求椭圆的离心率；(2)若上述三角形是钝角三角形，求椭圆离心率的取值范围．111.图8－6－3如图8－6－3，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．答案及解析1．【解】由题意可知且a＞0，b＞0，c＞0，解得a＝5，b＝3，c＝4.∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝5－4＝1.【答案】C2．【解】椭圆焦点在y轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m.2又c＝2，∴m－2－(10－m)＝22＝4.∴m＝8.【答案】D3．【解】如图所示，在Rt△ABF1中，∵OB⊥AF1，∴|OB|2＝|OF1|·|OA|，∴b2＝ac，∴a2－c2＝ac，又∵0＜e＜1，∴e＝.【答案】A4．【解】由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a⇒a＝2.又e＝＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.【答案】A5．【解】设N为PF1的中点，则NO∥PF2，故PF2⊥x轴，故|PF2|＝＝，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|＝，t＝7.【答案】D6．【解】若5＞m，则＝，∴m＝3.若5＜m，则＝，∴m＝.【答案】3或7．【解】如图所示，由椭圆的对称性可知|AC|＝|CB|，又|AB|＝|AC|，∴△ABC为等边三角形，∴在Rt△CFA中|CF|＝|AF|＝＝2c，又2a＝|AC|＋|AF|＝2＋1＝3，∴e＝＝＝.【答案】8．【解】设椭圆的长半轴为a，由2a＝12，知a＝6，又e＝＝，故c＝3，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.3∴椭圆标准方程为＋＝1.【答案】＋＝19.【解】以AF所在直线为x轴，过B点且垂直于x轴的直线为y轴建立直角坐标系(如图)．∵∠AFB＝150°，∴∠BFO＝30°，∴在Rt△BOF中，a＝2b，c＝b.而S△AFB＝b×(a－c)＝b2＝2－，∴b2＝2，∴a2＝8.∴椭圆方程为＋＝1.10．【解】(1)设椭圆的两个焦点为F1，F2，短轴的一个端点为A，则△AF1F2是正三角形，∴|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|＝2c.又|AF1|＝＝a，∴a＝2c，∴e＝＝.(2)根据椭圆的对称性知，|AF1|＝|AF2|，∴△AF1F2是等腰三角形．又∵△AF1F2是钝角三角形，∴∠F1AF2是钝角，∴∠OAF1＞45°.而sin∠OAF1＝＝e＞sin45°＝又0＜e＜1，∴＜e＜1.11.【解】(1)由已知可知点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x＋6，y)，FP＝(x－4，y)，且y＞0，由已知得消去y，得2x2＋9x－18＝0，解得x＝，y＝，∴点P的坐标为(，)．(2)直线AP的方程为x－y＋6＝0，设点M的坐标为(m,0)，由题意可知＝|m－6|，又－6≤m≤6，∴m＝2，∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝(x－)2＋15.∴当x＝时，d取得最小值.45
