必考问题5函数、导数、不等式的综合问题(2012·山东)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.解由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)解由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.又ex＞0，所以x∈(0,1)时，f′(x)＞0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)证明因为g(x)＝xf′(x)，所以g(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，由(2)得，h(x)＝1－x－xlnx，求导得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne－2)．所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.又当x∈(0，＋∞)时，0＜＜1，所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2.综上所述结论成立．导数与函数、方程、不等式的交汇综合，以及利用导数研究实际中的优化问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．题型以解答题的形式为主，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解决问题的能力．解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.常考查：①确定零点，图象交点及方程解的个数问题；②运用零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或范围．【例1】►(2012·金华十校期末考试)已知函数f(x)＝ax－lnx－3.(1)当a＝1时，求函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程；1(2)若函数f(x)在x∈[e－4，e]上的图象与直线y＝t(0≤t≤1)总有两个不同交点，求实数a的取值范围．[审题视点](1)当a＝1时，对函数f(x)求导，并求得在x＝1处切线的斜率．从而确定在点(1，－2)处的切线方程．(2)由题意可对a值分类讨论求解问题．[听课记录]解(1)当a＝1时，f′(x)＝1－，所以f′(1)＝0，切线方程为y＝－2.(2)因为f′(x)＝a－，x∈[e－4，e]，∈[e－1，e4]，所以当a≤e－1时，f′(x)≤0，f(x)在x∈[e－4，e]上单调递减，不符合题意；当a≥e4时，f′(x)≥0，f(x)在x∈[e－4，e]上单调递增，不符合题意；当e－1＜a＜e4时，f(x)在x∈上单调递减，f(x)在x∈上单调递增，由题意可得解得≤a＜e2，所以a的取值范围是≤a＜e2.对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．【突破训练1】(2012·安徽巢湖质量检测)已知函数f(x)＝xlnx＋(a－1)x(a∈R)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最小值；(3)若关于x的方程f(x)＝2x3－3x2在区间内有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．解(1) f′(x)＝lnx＋1，∴k＝f′(1)＝1，f(1)＝0，∴所求的切线方程为y＝x－1.(2)f′(x)＝lnx＋a(x＞0)．由f′(x)＝0得x＝e－a.由x∈(0，e－a)，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(e－a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，①当e－a＜，即a＞1时，f(x)在上为增函数，f(x)min＝f＝；②当≤e－a≤e，即－1≤a≤1时，f(x)在上为减函数，在[e－a，e]上为增函数，f(x)min＝f(e－a)＝－e－a；③当e－a＞e，即a＜－1时，f(x)在上为减函数，f(x)min＝f(e)＝ea.综上所述，f(x)min＝(3) x＞0，方程f(x)＝2x3－3x2在上有两个不相等的实数根，即方程2x2－3x－lnx－(a－1)＝0在上有两个不相等的实数根．令g(x)＝2x2－3x－lnx－(a－1)，则g′(x)＝4x－3－＝＝(x＞0)，令g′(x)＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝1，因此g(x)在(0,1)内是减函数，在(1，＋∞)内是增函数，因此，若方程2x2－3x－lnx－(a－1)＝0在内有两个不相等的实数...
