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MATLAB课程期末作业以下报告完成的是大作业第七题:7.Simulink仿真在高等数学课程中的应用21130223宋沛儒基于MATLAB/Simulink对Lorenz系统仿真研究21130223宋沛儒1.引言1963年Lorenz通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考,得到了一系列混沌运动的基本特征,提出了第一个奇异吸引子—Lorenz吸引子[1],Lorenz通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现,在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。Lorenz揭示了一系列混沌运动的基本特征,成为后人研究混沌理论的基石和起点,具有非常重要的意义。Lorenz系统方程如下:(1)其中,a,b,c为正的实常数。本人利用了数学工具matlab,对Lorenz系统进行了仿真研究,加深了对其的认知。2.matlab求解Lorenz系统首先创建文件“Lorenz.m”定义Lorenz方程,假设固定a=10,b=2.6667,c=30,程序如下:functiondx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];end然后利用ode45(Runge-Kutta算法)命令求解Lorenz方程并绘制图形,初值取x=y=z=0.1,程序如下:>>clf>>x0=[0.1,0.1,0.1];>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>>subplot(2,2,1)>>plot(x(:,1),x(:,3))>>title('(a)')>>subplot(2,2,2)>>plot(x(:,2),x(:,3))>>title('(b)')>>subplot(2,2,3)>>plot(x(:,1),x(:,2))>>title('(c)')>>subplot(2,2,4)>>plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>>title('(d)')运行后,得如下波形:图中,(a)为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影,(b)为其在y-z平面上的投影,(c)为其在x-y平面上的投影,(d)为Lorenz混沌吸引子的三维图。四张图都类似于“8”字形。3.Lorenz系统对初值的敏感性此时因为固定参数a=10,b=2.6667,c=30时,为混沌系统,对初值具有敏感性,初值很小的差异会引起系统的大变化。例如在上例中取初值x=z=0.1,y=0.11,绘制此时混沌吸引子在x-z上的投影,并与x=y=z=0.1在同一张图比较。(初值为x=y=z=0.1时投影用蓝色,初值为x=z=0.1,y=0.11时投影用红色)程序如下:>>clf>>x0=[0.1,0.1,0.1];>>[t,x]=ode45('ex_lorenz',[0,100],x0);>>plot(x(:,1),x(:,3))>>holdon>>x0=[0.1,0.11,0.1];>>[t,x]=ode45('ex_lorenz',[0,100],x0);>>plot(x(:,1),x(:,3),'r*')得到图形如下:可以看到初值y仅变化0.01,图中红色与蓝色不重合出明显。证明了Lorenz系统的敏感性。4.matlab对Lorenz系统的仿真由文献[1]可知在上述方程组(1)中,令,当c>1时,系统有三个平衡点:,,。当c=1时,系统在原点失去稳定。当c<1时,原点是唯一的平衡点并且是汇点。利用matlab的Simulink功能,搭建Lorenz系统模型,并探讨参数对Lorenz系统的影响。仿真模型如图:在仿真模型中,取参数a=10,b=8/3,观察参数c取不同值时系统的运行状态。根据文献[1]的分析,当参数01时,系统有三个平衡点:原点O(0,0,0)和S+,S-。此时原点的特征值中有正值,因此原点为鞍点,是不稳定平衡点。当113.926时,不稳定流形将绕到另一侧,最终趋于与之异侧的S+或S-。可见,c是一个同宿分岔点。因此,取初值x=y=z=2,c=8,仿真停止时间为50,运行仿真,得到x、y、z的相图以及x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示:0501001502002503003502345671502002503003504004502345670100200300400500600700024681012可以看到,系统趋于与之同侧的平衡点S+或S-。取初值x=y=z=2,c=18,仿真停止时间为50,运行仿真,得到x、y、z的相图以及x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示:050010001500-20-15-10-5051015050010001500-20-15-10-50510150500100015001015202530可以看到,系统趋于与之同侧...

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