第5讲-蒙特卡洛方法的应用VIP免费

实验目的实验内容学习如何应用蒙特卡洛方法解决实际问题1、起源和发展2、原理3、计算机模拟应用实例4、实验作业蒙特卡洛方法的应用第一页，共五十页。一、MC的起源和发展•随机模拟方法，也称为MonteCarlo方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。冯·诺伊曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，MonteCarlo方法也是他的功劳。第二页，共五十页。•事实上，MonteCarlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。18世纪下半叶的法国学者Buffon提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。这个著名的Buffon试验是MonteCarlo方法的最早的尝试！第三页，共五十页。•历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。不过呢，他们的试验是费时费力的，同时精度不够高，实施起来也很困难。然而，随着计算机技术的飞速发展，人们不需要具体实施这些试验，而只要在计算机上进行大量的、快速的模拟试验就可以了。•MonteCarlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一，它在工程领域的作用是不可比拟的。第四页，共五十页。Buffon试验•假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷一根长度为的针()，•则我们可计算该针与任一平行线相交的概率。这里，随机投针指的是：针的中心点与最近的平行线间的距离均匀的分布在区间上，针与平行线的夹角（不管相交与否）均匀的分布在区间上。•因此，针与线相交的充要条件是l1l21,0x,021sinx第五页，共五十页。Buffon试验•从而针线相交的概率为•根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相交的概率，从而得到的估计值。•针与线的位置关系：ldxdlXPpl22sin2ˆ0sin20p第六页，共五十页。functionpiguji=buffon(llength,mm)%llength是针的长度%mm是随机实验次数frq=0;xrandnum=unifrnd(0,0.5,1,mm);phi=unifrnd(0,pi,1,mm);forii=1:mmif(xrandnum(1,ii)<=(llength*sin(phi(1,ii))/2))frq=frq+1;endendpiguji=2*llength/(frq/mm)第七页，共五十页。>>buffon(.6,1000)piguji=3.1662>>buffon(.6,10000)piguji=3.1072>>buffon(.6,100000)piguji=3.1522>>buffon(.6,1000000)piguji=3.1386>>buffon(.6,1000000)piguji=3.1451>>buffon(.6,1000000)piguji=3.1418>>buffon(.6,1000000)piguji=3.1448>>buffon(.6,1000000)piguji=3.1405>>buffon(.6,1000000)piguji=3.1394第八页，共五十页。二、MC的原理•应用MonteCarlo方法求解工程技术问题可以分为两类：•确定性问题•随机性问题第九页，共五十页。思路1、针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的概率分布或其某些数字特征，比如，均值和方差等。所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致的。2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，再进行随机模拟试验。第十页，共五十页。3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。5、统计分析模拟试验结果，给出问题的估计以及其精度估计。6、必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率。第十一页，共五十页。•收敛性:由大数定律,Monte-Carlo模拟的收敛是以概率而言的．•误差:用频率估计概率时误差的估计，可由中心极限定理，给定置信水平的条件下，有：••模拟次数:由误差公式得NU2/1||))((XgVar22/1)(UN第十二页，共五十页。三、MC的应用举例1、定积分的MC计算随机投点法...