2.32.3幂函数幂函数我们先来看看几个具体的问题:(x>0)(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支付_______y=x元(2)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积______(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积_______(5)如果某人xs内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度y=x²y=x⁻¹km/s一、引入一、引入y=x3(4)如果正方形的面积为x,那么正方形的边长______12y=x以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-11、定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数幂函数，其中x是自变量，α是常数.2、幂函数的定义域：使xα有意义的实数的集合.二、幂函数的概念二、幂函数的概念注意:幂函数中α的可以为任意实数.1.判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x421)2(xy(3)y=-x221)4(xy(5)y=2x2(6)y=x3+2练习：练习：（7）y=x0(8)y=12213.(2),()1234mmymmxmfx已知函数为何值时，是：（）正比例函数；（）反比例函数；（）二次函数；（）幂函数.2.幂函数y=f(x)的图象过点,则函数的解析式为_________.(2,2)yx在平面直角坐标系内分别作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象.三、幂函数的图象与性质三、幂函数的图象与性质关于幂函数的图象和性质我们主要学习下列几种函数.(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-1定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=x的图象和性质RRR在上是奇函数R在上是增函数定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=x2的图象和性质R[0,)R在上是偶函数[0,)在上是增函数(,0]在上是减函数定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=x3的图象和性质RRR在上是奇函数R在上是增函数定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=x0.5的图象和性质[0,)[0,)非奇非偶函数[0,)在上是增函数定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=x－1的图象和性质{0}xx{0}yy{0}xx在上是奇函数(0,)在上是减函数(,0在)上是减函数幂函数的图象幂函数的图象公共点单调性奇偶性值域定义域函数性质幂函数的性质幂函数的性质(-∞,0)减(-∞,0]减(1,1)(0,+∞)减增增[0,+∞)增增奇非奇非偶奇偶奇[0,+∞)R[0,+∞)R[0,+∞)ＲＲＲy=x-1y=x3y=x2y=x12yx|0xxRx且|0yyRy且一般幂函数的性质:★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数.★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.★当α为奇数时,幂函数为奇函数,★当α为偶数时,幂函数为偶函数.★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，因函数式中α的不同而各异.【例1】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，求满足的a的取值范围。33(1)(32)mmaa223()()mmfxxmN223()mmfxxm已知幂函数的图象不过原点变式，求实数的：取值范围。1122(3)(12)xxx变式1求满足不等式的实数：的范围。例3证明幂函数在[0,+∞)上是增函数．xxf)(证明：任取x1,x2∈[0,+∞)，且x1＜x2，则21212121212121))(()()(xxxxxxxxxxxxxfxf.),0[)(),()(,0,0212121上是增函数在即幂函数所以因为xxfxfxfxxxx分子有理化小结(1)幂函数的定义；(2)幂函数的性质；(3)利用幂函数的单调性判别大小一般地，函数y=xα叫做幂函数幂函数，其中x是自变量，α是常数.
