初等几何变换课题：§1合同变换主讲：吴现荣初等几何变换一、合同变换的概念和性质1、合同变换的概念设有两个点集合构成的两个图形F和/F，它们的点之间建立这样的一一对应关系：使F中任意两点的连线段总等于/F中两个对应点的连线段，则F和/F称为相等或合同。即在一个几何变换（以下简称变换）f下，若任意两点之间的距离等于变化后两点之间的距离，则f是一个合同变换。注意：合同变换只改变图形的相对位置，不改变其形状和大小。初等几何变换2、合同变换的性质1）合同变换是一一变换2）合同变换的逆变换也是合同变换3）两个合同变换的乘积也是合同变换4）合同变换把共线点变成共线点5）合同变换把直线变成直线，把射线变成射线，把线段变成线段，把角变成角6）两条相交直线的交角，经合同变换，等于两对应直线的交角初等几何变换说明：根据如上的定义和性质得：点与直线的结合性平行性直线的共点性点的共线性变量合同变换的两个基本不两直线的交角两点间的距离变量合同变换的两个基本不.初等几何变换1）全（相）等（真正合同）ABCA与A1B1C1A1环绕方向相同（第一类合同变换）3、图形的相等的两种情况2）镜照合同ABCA与A1B1C1A1环绕方向相反（第二类合同变换）平移变换一、平移变换的概念设给定一向量PQ，若以图形F上任意一点M为始点作向量PQMM/，则当点M在图形F上变动时，点/M所成的图形/F称为经过平移PQ后得来。即平移变换是将图形上的每一点都按一个定方向移动定距离的变换，记为)(PQT，定方向PQ称为平移方向，定距离称为平移距离。平移变换说明：1）一个向量决定一个平移；2）相等的向量决定相等的平移；3）零向量决定的平移动称为幺变换。平移变换二、平移变换的性质性质1平移是运动性质2两平移的乘积是一个平移性质3平移的逆变换是一个平移性质4除幺变换外，平移没有二重点，但有无穷多的二重线（平行于平移方向的一切直线）平移变换三、平移变换的应用在平移动变换下，两对应线段平行（或共线）且相等，因此，凡已知条件中含有平行线段，特别是含有相等线段的平面几何题，往往可以用平移动变换简单处理。平移时可以平移线段，也可以平移角。平移变换例2任意四边形中一双对边中点的连线段不大于另一双对边和的一半。已知：M、N分别是四边形ABCD的边AB、CD的中点，求证：)(21BCADMN平移变换平移变换例3设AT为ABC的角平分线，M为BC中点，ME//AT交CA（或延长线）于E，交AB（或延长线）于D，求证：BD=CE。平移变换思考题：1、设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一点，当A运动到使CAQBAP时，ABC为什么三角形？并证明你的结论（1986年全国初中数学竞赛题）2、在ABC中，在AB、AC上取BE，CD，使BE=CD，连接BD、CE，若BD、CE中点M、N的连线交AB、AC于P、Q。求证：AP=AQ。旋转变换一、旋转变换的概念将一图形F上各点绕一定点O转动同一角度得图形/F，这种变换称为旋转称变换,简称旋转.记为),(OR，其中O：旋转中心,:旋转角或转幅。旋转变换关于旋转变换的说明:1)F与/F全等(有相同的转向,对应对应距离相等);2)一个旋转中心和一个旋转角决定一旋转;3)当180时的旋转称为半周旋转(或中心对称图形、中心反射、点反射)；4）当0时的旋转称为幺变换；5）当90时，两对应线段垂直且相等。旋转变换二、将一直线绕一定点O转动同一角度的作法1、作lOH，垂足为H；2、作1HOH；3、截取1OHOH；4、过点1H作直线11OHl，则1l就是l旋转后所得的直线。旋转变换性质2具有同一旋转中心的两个旋转的乘积是一个旋转，即),(),(),(2121OROROR性质3旋转的逆变换是旋转变换，即),(),(1OROR三、旋转变换的性质性质1旋转变换是合同变换（真正合同）；旋转变换性质4非恒等变换的旋转只有一个二重点(旋转中心)；异于点反射及恒等变换的旋转没有二重线；点反射有无穷多的二重线，它们通过反射中心。性质5在旋转变换下，直线与其对应直线的交角等于旋转角。旋转变换四、旋转变换的应用对于图形具有等边的特征的，已知条件含有正方形或等腰三角形或其他特殊图形，可考虑用旋转变...
