2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第13讲奇偶分析VIP免费

第13讲奇偶分析法把全体整数按被2除的余数分为两类：被2除余数为0整数的称为偶数，一般表示为2k(k为整数)，被2除余数为1整数的称为奇数，一般表示为2k+1(k为整数)．由于既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类，也不会有一个整数既不在奇数类又在偶数类，因此，我们可以把对整数问题的研究转化为对奇数和偶数的研究．这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困难的题目变得简单易解了.奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质：1、奇数不等于偶数；2、在自然数数列中，奇数与偶数是相间排列的；3、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数；[来源:Zxxk.Com]4、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=4的倍数，偶数×整数=偶数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性6、奇数的平方被4除余1，偶数平方为4的倍数；奇偶分析也常表现为染色，把一个图形染成黑白两色，往往可视为其中一色为奇数，另一色为偶数；也可视为用+1与-1(或1与0)标号，……总之，在分成两类对问题进行讨论时，常常可以看成是在进行奇偶分析．A类例题[来源:Z。xx。k.Com]例1⑴证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点．⑵至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数．⑴分析按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面格点分类，用抽屉原理证明．证明按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面上的所有格点分类，共有4类：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)．任取5个格点，必有2点属于同一类，设A(x1，y1)，B(x2，y2)这二点是属于同一类的两点，则其连线的中点M((x1＋x2)，(y1＋y2))即为格点．故得证．⑵分析考虑三角形的面积如何计算．解由三角形面积表达式S=[(x1－x2)(y2－y3)－(x2－x3)(y1－y2)]知，如果三角形有某两个顶点属于同一类(上题中的分类)，则其面积为整数；如果三个顶点都不同类，则其面积不为整数．于是取分属于4个不同的类的4个格点，以这4点中的任三点为顶点的三角形面积都不为整数，但如果取5个格点，则必有某两点属于同一类，此时以这二个点及另外任一点为顶点的三角形面积为整数．故至多取4个点，且此四点应分属不同的4类．说明把整数分成“奇数”与“偶数”这两类，就相当于构造了两个抽屉，从而奇偶分析常常用抽屉原理为工具解决问题．链接在坐标系内的三角形的面积公式：为了方便，先把三角形放在第一象限内，当三角形不在第一象限内时，可利用平移公式说明结论仍然成立．如图，ΔABC的三个顶点(按逆时针旋转的顺序排列)坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)．作P1P1'⊥Ox，P2P2'⊥Ox，P3P3'⊥Ox．垂足分别为P'1，P'2，P'3．于是，三角形P1P2P3的面积可以表示成三个直角梯形的面积的代数和：如在左图中，S＝[(y1+y3)(x3－x1)+(y3+y2)(x2－x3)－(y1+y2)12OPPP3xy123P'P'P'12OPPP3xy123P'P'P'例2设a1，a2，…，a64是1，2，…，63，64的任意一种排列．令b1=|a1－a2|，b2=|a3－a4|，…，b32=|a63－a64|；c1=|b1－b2|，c2=|b3－b4|，…，c16=|b31－b32|；d1=|c1－c2|，d2=|c3－c4|，…，d8=|c15－c16|；………这样一直作下去，最后得到一个整数x．求证：x为偶数．分析可以从后向前推：若x为奇数，则其前一次运算时的两个数必一奇一偶，…，这样直到开始时的64个数的奇偶性．这就是证法一的思路；也可以从前向后推：第一次运算得到的32个数的奇偶性与原来各数的奇偶性有什么关联？第二次运算所得16个数又与第一次运算的32个数有什么关联？又与原来的64个数有何关联？…，这样直到最后一个数．这就是证法二的思路．证法一假定x为奇数，则上述计算过程中倒数第二步的两个数是一奇一偶，倒数第三步的四个数或者是三奇一偶或者是一奇三偶．仿此推知，计算过程中的每一步只能有奇数个奇数，那么在a1，a2，…，a64，中也该有奇数个奇数.但它们是1，2，…，64的某一排列，其中奇数有32个，这就产生了矛盾.所以最后一个数只能是偶数．证法二因为整数a与|a|的奇偶性一致，整数a、b的和a+b与其差a－b的奇偶性也一致，所以上述计算过程的第二步中的32个数：|a1－a...