《3.2-基本不等式与最大(小)值》导学案2VIP免费

《3.2基本不等式与最大（小）值》导学案2知能目标解读1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件.2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力.重点难点点拨重点：应用基本不等式进行不等式的证明与求最值.难点：1.不等式的综合应用.2.逆向不等式的运用.学习方法指导1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”，还要注意“反向”不等式≤.在解题中的灵活运用.2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的.知能自主梳理常见的不等式：1.a2+b2≥(a、b∈R).2.ab≤()2≤(a、b∈R).3.若00，则.［答案］1.2ab2.3.>思路方法技巧命题方向不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法［例1］已知a、b、c是正实数求证：++≥a+b+c.［分析］由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式.［证明］ a、b、c是正实数，∴≥2=2c(当且仅当＝，即a=b时，取等号)；+≥2=2a(当且仅当=，即b=c时，取等号)；+≥2=2b(当且仅当=，即a=c时，取等号).上面3个不等式相加得2·+2·+2·≥2a+2b+2c(当且仅当a=b=c时，取等号).∴++≥a+b+c.［说明］1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论.变式应用1已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca.［解析］ a2+b2>2ab，b2+c2>2bc，c2+a2>2ca，以上三式相加得：2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca，∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.命题方向利用均值不等式证明不等式［例2］已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1.求证：≥9.［解析］解法一： a>0，b>0，c>0，∴==3+=3+()+()+()≥3+2+2+2＝9.即≥9(当且仅当a=b=c时取等号).解法二： a>0，b>0，c>0，∴＝(a+b+c)()=1+=3+()+()+()≥3+2+2+2＝9.∴≥9(当且仅当a=b=c时取等号).［说明］含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a+b+c=1”下，1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.变式应用2已知a、b、c为正数，求证:++≥3.［解析］左边＝=－３. a，b，c为正数，∴≥2(当且仅当a=b时取“＝”)；≥2(当且仅当a=c时取“＝”)；≥2(当且仅当b=c时取“＝”).从而()+()+()≥6(当且仅当a=b＝c时取等号).∴-3≥3.即++≥3.探索延拓创新命题方向利用基本不等式求范围［例3］当x>0时，求f(x)=的值域.［分析］此题从形式上看，不能使用算术平均值与几何平均值定理，但通过变形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.［解析］ x>0，∴f(x)==. x+≥2，∴0<≤.∴00的限制，仅有x∈R，那么应如下求解.当x>0时，同上.当x<0时，x+≤-2，∴-≤<0.∴-1≤f(x)<0.当x=0时，f(x)=0.∴-1≤f(x)≤1.∴函数f(x)的值域为［-1，1］.变式应用3设a＞b＞c，且≥恒成立，求m的取值范围.［解析］由a＞b＞c知：a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0.因此，不等式等价于≥m，要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可. ==2+≥2+2=4.当且仅当，即2b=a+c时，等号成立.∴m≤4，即m∈(-∞，4］.名师辨误做答［例4］已知00，->0，∴(-lgx)+(-)≥2＝4，当且仅当-lgx=-，即lgx=-2，x=时，取等号.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3+(-4)＝－1.∴f(x)有最大值-1.课堂巩固训练一、选择题1.若b>a>0，则下列不等式中一定成立的是()A.a>>>bB.b>>>aC.b>>>aD.b>a>>［答案］C...