方程的根与函数的零点VIP免费

思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？我们知道，令一个一元二次函数我们知道，令一个一元二次函数2(0)yaxbxca的函数值的函数值yy＝＝00，则得到一元二次方程，则得到一元二次方程20(0)axbxca问题1观察下表(一)，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。没有交点(1,0)x2-2x+3=0x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=0-2-4-13214211.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。结论:无实数根x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2-2x+1y=x2-2x-3图象与x轴的交点函数的图象一元二次方程方程的根二次函数2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？(观察表二)问题2△>0△=0判别式△=b2－4ac方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象函数的图象与x轴的交点△<0(x1,0),(x2,0)没有实根没有交点两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2(x1,0)-2-4-6-8-10-15-10-5x2x1hx=x2-2x-32-2-4-6-8-15-10-5x1gx=x2-2x+1421二次函数的图像与Ｘ轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系是否可以推广到一般情形？想一想？？想一想？？结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。2(0)0yaxbxcay为什么为什么？？20axbxc2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。对于函数y=f(x)我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zeropoint)。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：函数零点的定义：等价关系等价关系结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:在[－2,1]上，我们发现函数f(x)在区间（-2,1)内有零点x＝_____,有f(－2)____0,f(1)____0得到f(－2)·f(1)______0(<或>)。在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点x＝____，有f(2)____0,f(4)___00得到f(2)·f(4)____0（<或>)。.....xy0－132112－1－2－3－4－24观察函数y=f(x)的图象:1在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a)·f(b)____<0（＜或＞）．2在区间(b,c)上____(有/无)零点；f(b)·f(c)____<0（＜或＞）．3在区间(c,d)上____(有/无)零点；f(c).).f(d)____<0（＜或＞）．思考思考：：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？数零点是否存在某种关系？-1-1>><<<<33<<>><<<<<<<<有有有有有有如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)∈，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。注意注意::零点存在性定理零点存在性定理：：1、图像是连续不断的曲线0)()(2bfafaabb由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xxff（（xx））..................x0－2－4－6105y241086121487643219练习：1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x－4；（4）5x2＋2x＝3x2＋5.2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=－x3－3x+5；（2）f(x)=2x·ln(x－2)－3；（3）f(x)=ex－1+4x－4;（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.有有没有没有有有没有没有有有没有没有有有没有没有1(1)1(1)解：令解：令f(x)=f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。对...