第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小VIP免费

第四节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质和计算三、无穷小量与无穷大量四、小结与思考判断题一、函数极限的定义本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形：函数的极限六种存在形式;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx即函数极限的两种主要形式如下1.自变量趋于有限值时函数的极限考虑自变量趋近于有限值，记这一变化过程为x0x.0xx仿照数列极限的定义，给出时函数的极限的定义.0xx定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或:.1定义定义"".)(,0,0,00Axfxx恒有时使当0lim()xxfxA则讨论单侧极限.2)(lim0,20,2)(02xfxxxxxfx验证设两种情况分别讨论和分00xxxy222xyyox2,0从左侧无限趋近x函数值无限接近于2.,0从右侧无限趋近x函数值无限接近于2.左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意00lim()().xxfxAfxA记作或00lim()().xxfxAfxA或记作yx11o左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx.lim0不存在验证xxx例100limlimxxxxxx证0lim(1)1x00limlimxxxxxx0lim11x000lim()()().xxfxAfxfxA结论：小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在；(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等。2.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量表示及，对正数，表示及.xxxXXx||xXx定义2如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式那么常数就叫函数当时的极限，记作XXx||x)(xf|)(|AxfA)(xfxAxfx)(lim:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim另两种情形:Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx且结论：二、函数极限的性质1.局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.定理,2.唯一性若)(limxf存在则极限唯一.).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim000xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理(保号性)).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论3.局部保号性定理1.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设极限的四则运算法则三、极限的运算法则推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面..)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论211lim(),lim[()][lim()].nnfxnfxfx如果存在而是正整推论3数,则定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到AB或以及（3）中的某些情形：（1）当时，而时，AB)]()(lim[xgxf（2）当时，而时，A0B)]()(lim[xgxf（3）当时，而时，AB)()(limxgxf（4）当时，而时，AB0)()(limxgxf（5）当时，而时，0B0A)()(limxgxf则有设,)(.1110nnnaxaxaxfnnxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100)...