第四章 随机变量的数学期望VIP免费

第四章随机变量的数字特征•数学期望•方差•协方差和相关系数•矩与协方差矩阵§4.1数学期望§4.1数学期望4.1.1概念例1、盒子中有6个球（如图），112222333333从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。定义4.1：设离散型随机变量X的分布列是，若级数收敛，则称随机变量X的数学期望存在，且称级数的和为X的数学期望，并记为EX，有时也称EX为X的均值。iipxXP)(iiipx11iiipx1,2,...i对连续型随机变量X的数学期望类似的可定义如下：定义4.2：如果连续型随机变量X具有密度函数f(x)，积分收敛，则称X的数学期望存在，否则称X的数学期望不存在。若X的数学期望存在，称积分值为X的数学期望，也记为EX。dxxfx)(dxxxf)(注1、若，仍称X的数学期望不存在。11,kkkkkkpxpx而2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在有限区间上积分，则X的期望一定存在。3、离散型只取非负值，连续型只在x>0时f(x)>0，则只需直接计算期望。4.1.2常见随机变量的数学期望（1）（0－1）分布p1-pP10XpXPXPEX)1(1)0(0npppnpppknknnpppknknkkXkPEXnnkknkknknknk11110)1()1()!()!1()!1()1()!(!!)(（2）二项分布B(n,p)nkppCkXPknkkn,,1,0)1()(，（3）泊松分布P(λ),2,1,0,!)(kekkXPk01110!)!1(!)(iikkkkkiekeekkkXkPEX（4）几何分布G(p),3,2,1,)(1kpqkXPkpqqpqpkqpkXkPEXkqkkkk1)1()()(1110（5）超几何分布H(N,M,n)()1,2,3,,{,},0,0knkMNMnNCCPXkklnMCnNMN01111111()!!(1)!()!!()!knkllMNMnkkNnknkllkNMNMMnkkNCCEXkPXkkCCCMMCNNkMkCnNnnnMN（6）均匀分布U(a,b)其它01)(bxaabxf21)(baxdxabdxxxfEXba（7）指数分布000)(xxexfx1)2(1)(1)(00xdxedxexdxxxfEXxx（8）正态分布N(μ,σ2)1021)(21)(21)(2222222)(2)(2)(dxedxexdxexdxxxfEXxxx4.1.3随机变量函数的数学期望1)()(kkkpxgXEgEY定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即（g是连续函数），（1）若X是离散型随机变量，其分布律为而级数绝对收敛，则有,2,1,)(kpxXPkk1)(kkkpxg)(XgY（2）若X是连续型随机变量，其密度函数为，若积分绝对收敛，则有)(xfdxxfxg)()(dxxfxgXEgEY)()()(定理4.2：设Z是二维随机变量（X，Y）的函数，即Z＝g（X，Y），则（1）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有11),(),(jiijjipyxgYXEgEZ（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有dxdyyxfyxgEZ),(),(例1：设X～B（n，p），求EX(X－1)。解：因X～B（n，p），则X的分布律为,2,1,0)(kqpCkXPknkkn令Y＝g（X）＝X(X－1)nkknkknqpCkkXEX0)1()1(knknkqpkknnkk0!)!(!)1(knknkqpkknnpnn222)!2()!()!2()1(2202!)!2()!2()1(ininiqpiinnpnn22)()1(nqppnn2)1(pnn例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)22244423322242220051221()2222()()2222254311()()32222xxxEXxfxdxxedxxxxeed例3、（X,Y）的联合密度函数为：其它0102),(yxyxf求：EY1002(,)23yEYyfxydxdyydydx例4：设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，其密度为}2exp{21),(22yxyxf求的数学期望。22YXZ解：dxdyyxyxEZ}2exp{212222rdrerdr2020221drerr2202221...