§3.1.1方程的根与函数的零点预备练习：222求以下三个方程的根(1)x2x30(2)x2x10(3)x2x30-1，31无实数根§3.1.1方程的根与函数的零点函数的图象与x轴的交点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3这里，方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.y=0判别式>00<0y=ax2+bx+c的图象ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：xyx1x20xy0x1xy0函数的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)没有交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根两个不相等的实数根x1、x2(x1,0)二次函数的图像与Ｘ轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系是否可以推广到一般情形？2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数结论：函数零点的定义：函数零点的定义：x对于函数，)(xfy我们把使0)(xf的实数叫做函数)(xfy的零点。思考：零点是不是点？是方程是方程的实数根的实数根0)(xf函数的零点)(xfy的图象与轴的交点)(xfyx数形方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点思考：对于不能用公式求根的方程，如何找零点呢？甲乙思考：观察下列甲、乙两组画面，请你判断一下小王是否一定渡过这条小河？思考4：将小河抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？AXXA、B两点在x轴的两侧。ABByABOx()()0fafbab思考5：A、B两点在x轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？,()bfb（）,()afa（）(三)零点存在性的探索:0的图像并回答观察下面函数xf无零点ba,有零点cb,.0,dfcfdc有零点.0,efdfed有零点.0,ffeffe无零点.0bfaf.0cfbf如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(∈a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.【注意】【注意】零点存在性定理：零点存在性定理：(1)图像是连续不断的曲线0)()()2(bfafaabb（1）若f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内一定有零点。（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点则一定有f(a)·f(b)<0。（3）f(a)·f(b)<0函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。辨析讨论，提高认识思考：增加什么条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？（单调）推论：在零点存在的条件下，如果函数在[a,b]上具有单调性，函数f(x)在区间（a,b）上可存在唯一零点。（4）若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则一定能够得出f(x)在[a,b]上连续，或者一定有f(a)·f(b)<0么？（不一定）xabc1c2xabc1c2结论：函数零点存在性定理不可逆的。函数零点存在定理的三个注意点：1函数是连续的。2定理不可逆。3至少存在一个零点。对函数零点的存在性定理的理解(2)函数零点的存在性定理只能判断函数零点的存在性，不能判断零点的个数.(1)只要函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断，且在区间[a,b]两端的函数值异号,则函数y=f(x)在区间[a,b]上必定存在零点.(3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且函数y=f(x)在区间[a,b]也存在零点,则函数y=f(x)在区间[a,b]两端的函数值可能同号也可能异号.利用函数零点的存在性定理求函数零点的步骤(1)确定函数y=f(x)在[a,b]上连续;(2)若f(a)·f(b)<0,则在(a,b)内存在零点.(3)存在c(∈a,b),使得f(c)=0,则c是零点.三、求函数零点或零点个数的方法：(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点。(2)图象法：画出y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。(3)定理法：函数零点存在性定理。例2、观察下表，分析函数在定义域内是否有零点？-2-1012-109-10-18107163)(5xxxf)(xfx
