同角三角函数的基本关系式VIP免费

1.2.3同角三角函数的基本关系式在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值，|OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，根据勾股定理得sin2α+cos2α=1.NMPyxO又根据三角函数的定义有sinα=,cosα=所以sin2α+cos2α=1.yrxr又知tanα=,所以yxtancossin注意事项：1.公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立.如sin230º+cos260º≠1.2.同角不要拘泥于形式α，，6α等等都可以.2如sin24α+cos24α=1.3.在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件.即cosα≠0.α≠kπ+，kZ.∈2(1)当我们知道一个角的某一个三角函数值时，可以利用这两个三角函数关系式和三角函数定义，求出这个角的其余三角函数值。同角三角函数关系式的应用：(2)此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式。4.常用变形：22sin1cos22cos1sinsincostansincostan2221costancos222sintan1sin在公式应用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用、活用和变用.例1已知，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值．54sin分析：由平方关系可求cosα的值，由已知条件和cosα的值可以求tanα的值，进而用倒数关系求得cotα的值．解：∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限角.2243cos1sin1(),55345354cossintan.43tan1cot例2．已知，求sinα、tanα的值.178cos分析：∵cosα＜0∴α是第二或第三象限角．因此要对α所在象限分类讨论.解：当α是第二象限角时，22815sin1cos1(),171715sin1517tan.8cos817当α是第三象限角时，22815sin1cos1(),171715sin1517tan.8cos817例3.已知sinα－cosα=,180º<α<270º.求tanα的值。55解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组225sincos5sincos1消去sinα，得5cos2α－cosα－2=0，5由方程解得cosα=255或cosα=55因为180º<α<270º，所以cosα<0，即cosα=55代入原方程组得sinα=255于是tanα==2.sincos例4化简：1tancossin解：原式=sincossin1cossincossincoscos=cosθ.例5化简：440sin12解：原式=221sin(36080)1sin802cos80cos80例6.求证：(1)sin4α－cos4α=2sin2α－1；(2)tan2α－sin2α=tan2α·sin2α；(3)cossin1sin1cos证明：（1）原式左边=(sin2α+cos2α)(sin2α－cos2α)=sin2α－cos2α=sin2α－(1－sin2α)=2sin2α－1右边.所以原等式成立.(2)2222sintansintan证明：原式右边=tan2α(1－cos2α)=tan2α－tan2αcos2α2222sintancoscos=tan2α－sin2α=左边.因此2222sintansintan(3)cos1sin1sincos证明：左边coscos(1sin)cosxxxx=右边∴原等式成立.1sincosxx21sin(1sin)cosxxx证明等式的常用方法：1.从等式的一边证得它等于另一边；2.先证明另外一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立；3.利用作差(作商)的方法。